Forma correcta de ver un tensor (1,1) que devuelve un vector

Question

Actualmente estoy viendo este excelente serie de vídeos que se basan en la relatividad general. Por fin hemos empezado a estudiar los tensores y ha surgido una pregunta del público que (a mi entender) se refería a por qué los tensores se definen como mapas multilineales de conjuntos de vectores y covectores a los números reales y, sin embargo, los tensores (1,1) suelen verse como mapas lineales de vectores a vectores.

Dice que las dos formas de ver el tensor (1,1) contienen la misma información, pero no entiendo cómo. Si alguien pudiera dar otra explicación de por qué esto es cierto se lo agradecería mucho.

Answer 1

Este tipo de truco es común cuando se piensa en tensores.

Dejemos que $v$ sea un vector, $\alpha$ una forma única, y $c$ un número. Un vector da un mapa de formas únicas a números, $$\alpha \mapsto v(\alpha)$$ pero también da un mapa de números a vectores, $$c \mapsto c v.$$ Del mismo modo, un $(1, 1)$ tensor $T$ da un mapa de un vector y covector a números, $$(\alpha, v) \mapsto T(\alpha, v).$$ Pero también da un mapa de vectores a vectores, $$v \mapsto T(\cdot, v).$$ Para ver que la salida aquí es un vector, observe que da un mapa de formas únicas a números, $$\alpha \mapsto T(\alpha, v).$$ Siguiendo con esto, también se puede utilizar un $(1, 1)$ para definir un mapa de covectores a covectores, o de números a un vector y covector, etc.

Para evitar tener que asociar exactamente el mismo objeto con un montón de mapas diferentes, los físicos utilizan la notación de índice. En esta notación, los cinco mapas anteriores tienen la forma $$\alpha_i \mapsto v^i \alpha_i, \quad c \mapsto c v^i, \quad (\alpha_i, v^j) \mapsto T^i_j \alpha_i v^j, \quad v^i \mapsto T^i_j v^j, \quad \alpha_i \mapsto (T^i_j v^j) \alpha_i.$$ De esto se puede obtener el patrón general, que es que un $(n, m)$ puede actuar sobre un $(n', m')$ para dar lugar a un $(n+n'-k, m+m'-k)$ tensor donde $k$ es el número de pares de índices arriba/abajo que se contratan.

Answer 2

A $(n,m)$ tensor come $n$ vectores y $m$ covectores y escupe un número real. A $(1,1)$ se come un vector y un covector y escupe un número real. Llamemos a nuestro $(1,1)$ tensor $f(.,.)\colon V \times V^{*} \mapsto \mathbb{R} $ . El primer argumento es un vector y el segundo un covector. Así, para los vectores genéricos $a \in V, b \in V^{*}$ , $f(a,b) \in \mathbb{R}$ .

¿Qué pasa con $f(a,.)$ ? Evidentemente, se come un covector (en el argumento vacío) y escupe un número real. Pero esto es precisamente la definición de un vector. Entonces, $f(a,.)$ es un vector. Por lo tanto, $f(.,.)$ es un vector (es decir $a$ ) y produjo un vector $f(a,.)$ .