Morfismo de cobertura

Question

Tengo una pregunta sobre una hipótesis en un teorema clásico sobre coberturas.

El teorema es el siguiente:

Dejemos que $B$ sea un espacio base conectado, y $X$ y $Y$ ser coberturas de $B$ y $g, f: X\to Y$ dos $B$ -morfismos. Si existe $b\in B$ tal que $f_{|X_b} = g_{|X_b}$ entonces $f=g$ .

Esto es fácil de probar es $X$ está conectado. Si no asume $X$ conectadas, entonces también es fácil de demostrar si se asume $B$ localmente conectado, ya que en ese caso cada componente conectado de $X$ es abierto y cerrado, y por lo tanto se mapea de forma suryectiva sobre $B$ y por lo tanto, cada componente conectado de $X$ contiene un punto de la fibra $X_b$ .

Esto es, por supuesto, una suposición estándar.

Pero la referencia que estoy mirando (Douady, Algèbres et théorie galoisiennes) no hace ninguna suposición (aparte de $B$ conectado) y simplemente afirma que "cada componente conectado de $X$ contiene un punto en la fibra $X_b$ ".

Y no veo cómo demostrarlo sin el supuesto de conexión local, ¿me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Esta es sólo una respuesta parcial: Es cierto si $B$ es un camino conectado.

Dejemos que $P$ sea un componente de la trayectoria de $X$ . Obsérvese que, en general, los componentes de $X$ no coinciden con sus componentes de trayectoria; pero si demostramos que $P \cap X_b \ne \emptyset$ para todos $b$ entonces también $C \cap X_b \ne \emptyset$ para todos los componentes $C$ y todos $b$ . Escoge $x_0 \in P$ y que $b_0 = p(x_0)$ , donde $p : X \to B$ denota nuestra proyección de cobertura. Entonces $x_0 \in C \cap X_{b_0}$ . Ahora dejemos que $b \in B$ . Elige un camino $u$ en $B$ tal que $u(0) = b_0$ y $u(1) = b$ . Levante $u$ a un camino $\tilde u$ en $X$ tal que $\tilde u(0) = x_0$ . Desde $A =\tilde u([0,1])$ es un camino conectado, obtenemos $A \subset P$ . Pero $\tilde u(1) \in A \cap X_b \subset P \cap X_b$ .