Estoy estudiando una EDP hiperbólica de primer orden y quiero saber si hay alguna técnica para encontrar singularidades en su solución sin resolver explícitamente. La EDP en concreto es $$u_x+2\left(x+\sqrt{x^2-y}\right) u_y=0$$ donde $0<y<x^2$ . ¿Alguna idea o recurso? (Como nota al margen, Mathematica fue capaz de producir una solución: $u(x,y)=F(\frac12 \log{(-1 - 2 x - 2 x^2 + 2 (1 + x) \sqrt{x^2 - y} + y)})$ , donde $F$ es su condición límite. ¿Se te ocurren técnicas para resolverla? El MOC me dio una EDO no lineal que no pude resolver, por lo que parece no ser útil aquí).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Harry49
Puntos
312
Supongamos una singularidad para la que $q = u_y$ se convierte en infinito (1). Diferenciando la EDP con respecto a $y$ tenemos: $$ q_x + 2 \left( x + \sqrt{x^2 - y} \right) q_y = \frac{q}{\sqrt{x^2 - y}} \, . $$ Así, a lo largo de las curvas características de la EDP $s\mapsto (x(s), y(s))$ , lo desconocido $u$ es constante y tenemos $$\dot q(s) = \frac{q(s)}{\sqrt{x(s)^2 - y(s)}} \, . $$ Por lo tanto, si los datos de la frontera son suaves, entonces el método de las características proporciona soluciones suaves en todas partes dentro del dominio donde $y < x^2$ .
(1) P.D. Lax, Sistemas hiperbólicos de leyes de conservación y teoría matemática de las ondas de choque . SIAM, 1973. doi:10.1137/1.9781611970562.ch1
