Construcción de progresiones aritméticas

Question

Es conocido que en la secuencia de números primos existe progresiones aritméticas de números primos de longitud arbitraria. Esto fue demostrado por Ben Verde y Terence Tao en 2006. Sin embargo, la prueba es una no constructiva.

Sé el siguiente teorema de Burton da algunos criterios sobre cómo es de grande la diferencia común debe ser.

Deje $n > 2$. Si todos los términos de la progresión aritmética $$ p, p+d, \ldots, p+(n-1)d $$ son números primos, a continuación, la diferencia común $d$ es divisible por cada prime $q <n$.

Así por ejemplo, si desea que una secuencia de números primos en una progresión aritmética de longitud $5$, es decir $$ p, p+d, \ldots, p+4d $$ se necesita que la $d \geq 6$. Mediante esto podemos sacar que el primer $p=5$ $d = 6$ resultará en una secuencia de números primos en una progresión aritmética de longitud $5$.

Así que mi pregunta es ¿cuáles son las técnicas conocidas para la construcción de una secuencia de números primos de longitud $k$? Cómo iba a encontrar a la "primera" prime en la secuencia, o incluso la "más grande prime" que satisfaga la secuencia (suponiendo que no hay uno)? También, mientras que el teorema se da un límite inferior para $d$, se sabe si es de las más agudas menor enlazado hay?

NOTA: Esta no es mi área de investigación, para esta pregunta, es sobre todo por curiosidad.

Answer 1

Esta registros de la página parece ser una buena referencia. Se conjetura que hay un ao de duración $n$, empezando con el más pequeño prime $\ge n$. El primorial $n\#=\prod_{p\le n}p$ se conjetura que es un apretado el límite inferior de la diferencia para todos los $n>7$, aunque los valores más pequeños son posibles para $n\le 7$, ver A033188.

Me sorprendería si no hay una buena manera analítica para encontrar pequeños APs, pero la fuerza bruta que parece funcionar bastante bien. Para encontrar las cortas puede empezar con cualquier primer suficientemente grande e inspeccionar APs, con diferencias que son múltiplos de la primorial $n\#$. Escribí un rápido PARI programa para hacer esto dado de partida el primer y rápidamente me dio estos: para n=5,

47, 13907, 27767, 41627, 55487

229, 108799, 217369, 325939, 434509

541, 25951, 51361, 76771, 102181

donde las diferencias son 6, 47 y 11 veces 11#. Un poco más de tiempo, pero en alrededor de un minuto para n=10:

47, 4350704867, 8701409687, 13052114507, 17402819327, 21753524147, 26104228967, 30454933787, 34805638607, 39156343427

541, 916008361, 1832016181, 2748024001, 3664031821, 4580039641, 5496047461, 6412055281, 7328063101, 8244070921

Tuve que mirar más lejos para encontrar uno, empezando con 229, este tomó cerca de 7 minutos:

229, 18170841379, 36341682529, 54512523679, 72683364829, 90854205979, 109025047129, 127195888279, 145366729429, 163537570579

Para encontrar mucho más de APs parece requieren mucho más esfuerzo computacional (por ejemplo, AP26 fue un PrimeGrid proyecto).

Edit: que originalmente escribió el límite dado en la pregunta era correcta, pero se dan cuenta gracias a @ErickWong entendí mal y no es justo que en el de los números primos.

Answer 2

Tenga en cuenta que la restricción $q<n$ puede ser fortalecido a $q \le n$ menos que en el primer primer $p$ pasa a ser exactamente igual a $n$ (como en tu ejemplo para $n=5$).

Al $n$ es primo, el límite inferior $d_0 = \prod\limits_{q<n} q$ dado por el resultado que usted cita no se logra a menos que los números de $n, n+d_0, \ldots, n+(n-1)d_0$ son todos simultáneamente prime. Esto ocurre por $n=2, 3, 5$, pero no por $n=7,11,13$, y casi ciertamente no para cualquier grande el primer valor de $n$ (no hay ninguna prueba de esto, pero parece muy poco probable que pueda ocurrir).

Con las tres excepciones aparte, la mejor conocida límite inferior de $d$$\prod\limits_{q\le n} q$. Se espera que este sea firme (de acuerdo con el primer $k$-tuplas conjetura), pero nadie ha sido capaz de demostrar que incluso en el caso más simple: cuando $n=2$ debemos ser capaces de tomar $d=2$, pero se desconoce si hay infinitamente muchas progresiones $p,p+2$ (la apuesta más segura es que hay).

Answer 3

Esto no puede contestar la pregunta, pero me gustaría señalar que la obra más reciente de Green y Tao han demostrado resultados aún más fuertes.

Específicamente, Green y Tao dan exacta asymptotics para el número de soluciones de sistemas de ecuaciones lineales de los números primos, y su papel de Ecuaciones Lineales en los números Primos fue publicado en los Anales de 2010. En particular, esto nos dice asymptotics para el número de $k$plazo progresiones aritméticas de los números primos hasta el $N$.

Por ejemplo, como $N\rightarrow \infty$, podemos contar con que el asintótica número de 4-tuplas de números primos $p_1<p_2<p_3<p_4\leq N$ que están en progresión aritmética, y es igual a $$(1+o(1))\frac{N^2}{\log^4(N)} \frac{3}{4}\prod_{p\geq 5} \left(1-\frac{3p-1}{(p-1)^3}\right).$$

Tenga en cuenta sin embargo, que el Verde y el Tao del papel hecho a los dos grandes hipótesis. Se supone Möbius Nilsquence conjetura (MN) y el Gowers Inversa norma conjetura (GI). En un artículo publicado en los Anales de 2012, Green y Tao resolver el MN conjetura, lo que demuestra que la Función de Möbius es fuertemente ortogonal a nilsequences. Recientemente, el Verde, el Tao y Ziegler resuelto el Gowers inversa de conjeturas, y su papel está actualmente en el arxiv. (Aún no ha sido publicado) Esto significa que incondicionalmente han asymptotics para el número de números primos en un $k$ término de una progresión aritmética.

Si a usted le gustaría aprender más, sugiero la lectura de Julia Wolf excelente artículo de la Aritmética y el polinomio de progresiones en los números primos, d'après Gowers, Verde, Tao y Ziegler. Es muy reciente, como lo fue para los Bourbaki conferencias en 2 meses.