Interpretación de limsup-liminf de conjuntos

Question

¿Qué es una interpretación intuitiva de los 'eventos' $$\limsup An:=\bigcap{n=0}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k$$ y $$\liminf An:=\bigcup{n=0}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k$$ cuando $A_n$ son subconjuntos de un espacio medido $(\Omega, F,\mu)$. De la primera debería ser que "se verifica un número infinito de esos eventos", pero No veo cómo explicar (o interpretar esto). ¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

El $\limsup$ es la colección de todos los elementos que aparecen en cada cola de la secuencia, es decir, resultados que ocurren infinitamente a menudo en la secuencia de eventos.

El $\liminf$ es la unión de todos los elementos que aparecen en todos los eventos a partir de un cierto punto en el tiempo, es decir, resultados que ocurren en todos los eventos de la secuencia, excepto finitamente.

Answer 2

Léase 'forall' con intersección, 'existe' con unión. Prefiero pensar en los eventos de la siguiente manera:

$x \in\limsup A_n$ iff $\forall n$ $\exists k \geq n$ tal que $x \in A_k$.

$x \in\liminf A_n$ iff $\exists n$ $\forall k \geq n$ tenemos $x \in A_k$.