¿Una función creciente de funciones gamma?

Question

Dejemos que $\Gamma$ denotan la función gamma y suponen $a, b > 1$ . ¿Es la función definida como,

$f_b(a) = \cfrac{\Gamma(ab)}{\Gamma(ab + 1/2)} \cfrac{\Gamma(a + 1/2)}{\Gamma(a)}$ ,

aumentando en $a$ ? Me pidieron que lo probara formalmente, pero me he encontrado con algunas dificultades. La mayoría de mis intentos hasta ahora han consistido en alguna variación del uso de la función digamma, pero no he sido capaz de llegar a ningún sitio significativo.

Answer 1

Tenemos que $\log\Gamma$ es una función convexa por la Teorema de Bohr-Mollerup y $f_b(a)$ es creciente con respecto a $a$ si $$\log f_b(a) = \log\frac{\Gamma(ab)}{\Gamma(a)}-\log\frac{\Gamma(ab+1/2)}{\Gamma(a+1/2)}=\int_{a}^{ab}\psi(x)-\psi(x+1/2)\,dx $$ es creciente con respecto a $a$ , donde $$\psi(x)-\psi(x+1/2)=\sum_{n\geq 0}\left(\frac{1}{n+x+\frac{1}{2}}-\frac{1}{n+x}\right) $$ conduce a: $$ \log f_b(a) = -\frac{1}{2}\int_{a}^{ab}\sum_{n\geq 0}\frac{dx}{(n+x)(n+x+1/2)} $$ y mediante tal representación es sencillo demostrar que $f_b(a)$ es una función creciente.