¿Por qué es suficiente insinuar que $x^3+x+1|x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ ?

Question

Traté de entender una solución pero estoy atascado en cómo la solución concluyó que $x^3+x+1\mid x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1.$

Considere el campo del elemento $8$ dado por $\mathbb{F}=\frac{\mathbb{Z}_2[X]}{\langle X^3+X+1\rangle}.$ Ahora puedo decir que cada elemento $x$ en $\mathbb{F}$ satisface la relación $x^8-x=0.$ También puedo ver que $X^8-X=X(X-1)(X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1).$ La solución entonces dice que esto implica que $X^3+X+1\mid X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1.$ Sin embargo, no entiendo cómo han llegado a esa conclusión.

Puedo ver que $X^8-X$ puede ser factorizado en $\Pi _{i=1}^8X-q_i$ por cada $q_i\in\mathbb{F}$ pero no veo cómo eso podría ayudar a resolver mi problema.

Answer 1

Pues bien, el resultado general es que los elementos de $\Bbb F_q$ , $q=p^n$ con $p$ prime, satisfaga $x^q-x=0$ . Además, $x^q-x$ es el producto de todos los polinomios irreducibles de grado $d\geq 1$ en $\Bbb F_p$ con $d\mid n$ .

En su caso, $q=2^3$ y $x^8-x = x(x-1)(x^3+x+1)(x^3+x^2+1)$ en $\Bbb F_2$ .

Answer 2

$f = x^3+x+1$ es irreducible sobre $\Bbb F_2,\,$ siendo una cúbica sin raíces. Así que $\,\Bbb F_2[x]/f $ es un campo $\,\Bbb F_8$ con $8$ elementos. Generalizando El pequeño teorema de Fermat, en un campo finito $\Bbb F_q\,$ de tamaño $\,q,\,$ todos los elementos $\neq 0$ forman un grupo de orden $\,q\!-\!1\,$ por lo que, al Teorema de Lagrange $\,a^{q-1} = 1\,$ para todos $\,0\ne a\in\Bbb F_q$

En particular, para $\,q=p^m\,$ tenemos $\,x^{q-1}\! = 1\,$ en $\,\Bbb F_q\cong \Bbb F_p[x]/f\ $ así que $\,f\mid x^{q-1}\!-1\,$ en $\,\Bbb F_p[x].$

Así que en OP tenemos $\,f\mid x^7-1 = (x\!-\!1)g\,$ y $\,\underbrace{(x\!-\!1,f)=1}_{\large {\rm by}\ f(1)\neq 0\ \,{\rm in}\,\ \Bbb F_2}\Rightarrow\,f\mid g\,$ por el lema de Euclides.