Por qué el espacio de toda estructura compleja en un $2n$ -espacio vectorial dimensional que compatible con una métrica definida positiva es difeomorfo a $ O(2n)/U(n) $ ?
Respuesta
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$O(2n)$ actúa transitivamente en el espacio $C$ de estructuras complejas compatibles, enviando una estructura compleja $J$ a $OJO^{-1}$ es fácil comprobar que se trata de una estructura compleja compatible. Para demostrar la transitividad se utiliza la diagonalización en bloque de las matrices reales para demostrar que cualquier estructura compleja se puede conjugar con una estándar en forma diagonal en bloque. La compatibilidad sólo significa que la estructura compleja es sesgada-simétrica con respecto a la métrica, por lo que la conjugación puede hacerse mediante una matriz ortogonal.
Ahora fija una estructura compleja compatible $J$ (digamos que el estándar en $\mathbb{R}^{2n}$ ). Los mapas lineales que preservan tanto la métrica como la estructura compleja serán una copia de $U(n)$ dentro de $O(2n)$ . Así que el estabilizador de $J$ es $U(n)$ y como $O(2n)$ actúa transitivamente, tenemos una biyección $O(2n)/U(n) \cong C$ inducido por $O \mapsto OJO^{-1}$ .
$C$ es un colector (es un submanifold de $GL(2n,\mathbb{R})$ ) y $O(2n)$ actúa suave y transitivamente sobre ella, por lo que esta biyección es un difeomorfismo.
