Suma de una serie geométrica similar

Question

Me pregunto si existe una fórmula para calcular una serie como la siguiente:

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{q^n-x},$ donde $q>1$ y $x<1$ . Obviamente, esta serie converge. Si $x=0$ En realidad es una serie geométrica. Pero cuando $x\neq0$ Parece muy difícil. Me pregunto si existe una solución analítica.

Gracias.

Answer 1

El resultado dado por Wolfram Alpha no es malo $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{q^n-x}=-\frac{2 \psi _q^{(0)}\left(-\frac{\log (x)}{\log (q)}\right)+\log \left(q(q-1)^2 x^2\right)}{2 x \log (q)}$$ donde aparece la función q-digamma .

Lo que también podría hacer es escribir $$\frac{1}{q^n-x}=\sum_{p=0}^\infty q^{-n(1+p)} x^p$$ e invirtiendo el orden de la suma $$\sum_{n=0}^\infty q^{-n(1+p)} x^p=\frac{x^p}{1-\left(\frac{1}{q}\right)^{p+1}}$$ haciendo $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{q^n-x}=\sum_{p=0}^{\infty}\frac{x^p}{1-\left(\frac{1}{q}\right)^{p+1}}=\sum_{p=0}^{\infty}\frac{q (qx)^p}{q^{p+1}-1}$$ que convergería bastante rápido es $x \ll q$ .

A título ilustrativo, tratemos de $x=\frac 12$ y $q=2$ y considerar la suma hasta $p=10$ . Esto llevaría a $$\frac{111324238097962}{34654391537535}\approx 3.21241$$ mientras que el valor exacto sería $\approx 3.21339$ que está en un error relativo de $3\times 10^{-2}$ %.

Llevando la suma hasta $p=20$ reduce el error relativo a $3\times 10^{-5}$ %.