Encontrar el cono dual para un conjunto de matrices copositivas

Question

Esta es una pregunta del libro de texto Optimización convexa de Stephen Boyd y Lieven Vandenberghe (2.35). He leído el manual de soluciones, pero no he podido entender por qué está escrito de la manera que está y me gustaría si pudiera obtener alguna ayuda de esta comunidad.

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Dada una matriz $\mathbf{X} \in \mathbb{S}^n$ es copositivo, es decir $\mathbf{z^TXz} \geq 0, \mathbf{z} \succeq0$ , dado también el hecho de que el conjunto de matrices copositivas es un cono propio. Encuentra el cono dual.

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Mi solución es la siguiente:

Supongamos que $K$ es el conjunto de matrices copositivas en $\mathbb{S}^n$ , $K = \{\mathbf{X} \in \mathbb{S}^n : \mathbf{z^TXz} \geq 0, \forall \mathbf{z} \succeq 0\}$ . $K^*$ es un conjunto de vectores normales de todos los semiespacios que contienen a K, definidos como $K^* = \{\mathbf{Y}:\mathrm{tr}\mathbf{(Y^TX)}, \forall \mathbf{X} \in K \}$ .

Conocemos la igualdad que $\mathbf{z^TXz} = \mathrm{tr}(\mathbf{X^Tzz^T})=\langle \mathbf{X,zz^T} \rangle \geq 0$ Así pues, dejemos que $\mathbf{Y = zz^T}$ . \begin{align*} K^* &= \{\mathbf{Y}: \mathbf{\langle \mathbf{X,Y} \rangle}\geq 0, \forall \mathbf{X} \in K\} \\ &=\{ {\mathbf{zz^T}}: \mathbf{\langle \mathbf{X,zz^T}\rangle}\geq 0\ ,\forall \mathbf{X} \in K\} \quad \text{(Need to get rid of $\mathbf{X}$ from this expression)}\\ &=\{{\mathbf{zz^T}}:\mathbf{z} \succeq 0\} \quad \text{(as $K$ is pointed and non-empty, and $\mathbf{X} \in K$)} \end{align*}

Pero según el manual de soluciones, es el casco realmente convexo del conjunto que acabo de escribir arriba, que es $K^* = \mathbb{conv}\{ \mathbf{zz^T}:\mathbf{z} \succeq 0\}$ . ¿Por qué este extra $\mathbb{conv}$ allí, es porque el conjunto $\{ \mathbf{zz^T}:\mathbf{z} \succeq 0\}$ no es convexo y $K^*$ debe ser cerrado y convexo? Sospecho que he hecho unas matemáticas muy descaradas, y agradezco profundamente cualquier orientación.

Answer 1

Una "comprobación de cordura" en el cálculo de conos duales es que si tu nuevo cono es más pequeño, entonces tu cono dual es más grande. En tu caso, un cono copositivo es mayor que un cono semidefinido, y el dual de un cono semidefinido es el cono semidefinido, por lo que deberíamos esperar que el dual del cono copositivo sea menor que el cono semidefinido.

Teniendo esto en cuenta, voy a hacer algunas conjeturas. Denote $K$ y $K^*$ como el cono copositivo y el dual del cono copositivo, respectivamente.

• Si $z\geq 0$ entonces para cualquier $X\in K$ , $z^TXz \geq 0$ . Entonces cualquier matriz $$ Y = \sum_{i=1}^m a_ia_i^T $$ donde $a_i\geq 0$ está en $K^*$ ya que $$\mathbf{tr}(XY) = \sum_{i} a_i^TXa_i \geq 0.$$ Tenga en cuenta que la respuesta no importa si $a_i$ es estrictamente negativo, ya que el signo se anula en el producto. Por lo tanto, $$ K^* \supseteq \{ \sum_{i} a_ia_i^T : a_i \geq 0 \text{ or } a_i \leq 0\}. $$

• De hecho, este es el conjunto para $K^*$ . Para ver esto, supongamos que $Y = zz^T$ donde $z\neq \geq 0$ y $z\neq \leq 0$ . Entonces podemos encontrar un copositivo $X$ donde $z^TXz < 0$ . Entonces $\mathbf{tr}(XY) < 0$ .

Este es claramente un conjunto más pequeño que el conjunto de matrices semidefinidas positivas (que es el conjunto propuesto pero sin restricciones en $a_i$ ) y, por lo tanto, pasa nuestra comprobación de cordura.