¿Cómo defino formalmente exponentiation complejo?

Question

Estoy intentando hacer un básico de complejas herramientas de análisis más concreto. Es decir, estoy tratando de eliminar el término "multi-función con valores de" en mi idioma.

Por ejemplo, $\log$ puede ser visto como un grupo de homomorphism $(\mathbb{C}^*,•) \rightarrow (\mathbb{C}/2\pi i \mathbb{Z},+)$, por lo que el $\log$ puede ser visto como una función. Del mismo modo, el argumento también puede ser visto como un grupo de homomorphism.

El problema es que no sé cómo ver $z^w$ como una función de manera que la aritmética, incluyendo esto se puede hacer mientras ve esto como un objeto, no una función de varios valores.

Yo estaba tratando de arreglar $z$ e ver $z^w$ como una función donde $w$ rangos de $\mathbb{C}$ y hacer $z^w$ como un grupo de homomorphism para que $z^{w+a}=z^w • z^a$ se puede hacer, pero no sé cómo cociente el rango de $z^w$.

Más precisamente, vamos a $f(w)=z^w$.

Yo quería ver $f$ como un homomorphism de $(\mathbb{C},+)$ a algunos cociente $(\mathbb{C}/H, •)$, para hacer de $f(w+a)=f(w)f(a)$. Mi pregunta es, ¿qué sería una opción natural de $H$? O esto es un enfoque completamente equivocado? Si es así, ¿cuál sería un buen punto de vista de la exponenciación?

Si hay un complejo de análisis de texto de introducción a la teoría de esta manera, por favor me recomienda uno. Gracias de antemano :)

Answer 1

El único cociente de $\mathbb{C}^*$ es la trivial, de un grupo de elementos (NB, no buscamos un cociente de $\mathbb{C}$, esencialmente a causa de la multiplicación de comportamiento de $\exp$).

Para una base fija $z \in \mathbb{C}$ y la elección de la rama de $\log$ de la función logaritmo, podemos definir una rama de la función exponencial con base de $$f(w) := \exp(w \log z).$$ Como de costumbre, cualquier otra rama $\widetilde{\log}$ de la función logaritmo puede ser escrito como $$\widetilde{\log}(\zeta) := \log \zeta + 2 \pi i g(k)$$ for some integer-valued (and not necessarily continuous) function $g$.

La delegación correspondiente de la función exponencial con base $z$ es \begin{align} \widetilde{f}(w) &:= \exp(w \widetilde{\log} z)\\ & = \exp(w (\log z + 2 \pi i g(w)))\\ & = \exp(w \log z) \exp(2 \pi i g(w) w)\\ & = f(w) \exp(2 \pi i g(w) w) \textrm{.} \end{align}

Ahora podemos formalizar la pregunta: Estamos buscando un subgrupo $\Gamma \subset (\mathbb{C}^*, •)$ de manera tal que la composición $$\mathbb{C} \stackrel{f}{\to} \mathbb{C}^* \to \mathbb{C}^* / \Gamma$$ es independiente de la elección de la rama de $f$ de la función exponencial con base $b$, o, equivalentemente, de la elección de la rama de $\log$ del logaritmo. (El segundo mapa en la composición es sólo el canónica cociente mapa).

Ahora, por el cálculo anterior, $\Gamma$ debe contener cada posible valor de $f(w)^{-1} \widetilde{f}(w)$, es decir, debe contener $$\exp(2 \pi i k w)$$ para cada valor de $w$ y cada entero $k$, pero el conjunto de esos valores es la imagen de $w \mapsto \exp(2 \pi i w)$, $\mathbb{C}^*$ sí. Por lo tanto, la única admisible mapa de $\mathbb{C}^* \to \mathbb{C}^* / \Gamma$ es la trivial mapa de $\mathbb{C}^* \to \{ 1 \}$ sí.

Por supuesto, todavía hay una manera de definir complejo exponenciación formalmente---esta es precisamente la definición de $f(w)$ en la primera pantalla de la ecuación anterior.

Answer 2

Para la variedad, podríamos utilizar una superficie de Riemann: el conjunto de todos los puntos de $(z,w)$ tal que $\exp(w) = z$.

Los puntos de esta superficie debe ser de la siguiente manera: la primera coordenada expresa un punto en el plano complejo, y la segunda coordenada expresa información adicional: la elección de la rama del logaritmo.

Deje $\hat{z} = (z,w)$. El multi-función con valores de $\log z$ sobre el plano complejo levanta a una bien definida, continua y derivable la función $\log \hat{z}$ sobre la superficie de Riemann anterior, dado por $\log \hat{z} = w$, y por lo tanto la función satisface $\exp(\log \hat{z}) = z$.

Además, podemos definir a la $\hat{z}^a = \exp(a \log \hat{z})$ para obtener un bien definido exponenciación en todas partes de la función definida en la superficie de Riemann.

En realidad podríamos hacer $\exp$ tomar valores en su superficie de Riemann, por lo que el $E(a) = (\exp(a), a)$. A continuación, $\log$ $E$ son funciones inversas. La versión correspondiente de complejo de exponenciación es $\hat{z}^a = (\exp(aw), aw)$.