El siguiente resultado discutido por Ramanujan es muy famoso: $$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}\etiqueta {1}$$ y puede ser fácilmente demostrado por cubicación de ambos lados y usando $x = \sqrt[3]{2}$ para la simplificación de escribir.
Ramanujan establecido muchas de esas almacenaje de los radicales, tales como $$\sqrt{\sqrt[5]{\frac{1}{5}} + \sqrt[5]{\frac{4}{5}}} = \sqrt[5]{1 + \sqrt[5]{2} + \sqrt[5]{8}} = \sqrt[5]{\frac{16}{125}} + \sqrt[5]{\frac{8}{125}} + \sqrt[5]{\frac{2}{125}} - \sqrt[5]{\frac{1}{125}}\etiqueta {2}$$$$\sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{32}{5}} - \sqrt[5]{\frac{27}{5}}} = \sqrt[5]{\frac{1}{25}} + \sqrt[5]{\frac{3}{25}} - \sqrt[5]{\frac{9}{25}}\etiqueta {3}$$$$\sqrt[4]{\frac{3 + 2\sqrt[4]{5}}{3 - 2\sqrt[4]{5}}} = \frac{\sqrt[4]{5} + 1}{\sqrt[4]{5} - 1}\la etiqueta{4}$$$$\sqrt[\color{rojo}6]{7\sqrt[3]{20} - 19} = \sqrt[3]{\frac{5}{3}} - \sqrt[3]{\frac{2}{3}}\etiqueta{5}$$$$\sqrt[6]{4\sqrt[3]{\frac{2}{3}} - 5\sqrt[3]{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{\frac{4}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{1}{9}}\etiqueta{6}$$
$$\sqrt[8]{1+\sqrt{1-\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)^{24}}} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\,\frac{1+\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}\etiqueta{7}$$
con el último encontrado en Ramanujan Cuadernos, Vol. 5, pág. 300. La mayoría de estas expresiones radicales son las unidades (una unidad es un entero algebraico $\alpha$ tal que $\alpha\beta = 1$, donde $\beta$ es otro algebraicas entero).
Para mí, la única manera de establecer las identidades es elevar cada lado de la ecuación a una alimentación adecuada utilizando la fuerza bruta, el álgebra y, a continuación, verifique la igualdad. Sin embargo, para potencias superiores (por ejemplo, la ecuación $(2)$ arriba) esto parece muy difícil.
Hay una estructura subyacente de estos poderes de las unidades que da lugar a identidades o son meros extraños casos que fueron notados por Ramanujan que solía jugar con todo tipo de números como una especie de hobby? Creo (aunque no seguro) que tal vez Ramanujan tenía alguna idea de este tipo de estructura es la que lleva a algunos realmente agradable relaciones entre las unidades y sus poderes. Me pregunto si hay algún sonido de la teoría de tales relaciones, que pueden ser explotados para dar a muchas de esas identidades entre anidados y denested radicales.
