Dejemos que $X_1$ y $X_2$ ser i.i.d. normal podemos encontrar la distribución de $(U_1,U_2)=(\max(X_1,X_2), \min(X_1,X_2))$

Question

Dejemos que $X_1$ y $X_2$ ser i.i.d. normal.

La pregunta es: ¿Podemos encontrar la distribución conjunta de un par $$\begin{align}(U_1,U_2)=(\max(X_1,X_2), \min(X_1,X_2)). \end{align}$$

Lo que hice

Tenga en cuenta que esto es sólo la ordenación de $X_1$ y $X_2$ . En otras palabras, Si $X_1>X_2$ entonces $(U_1,U_2)=(X_1,X_2)$ y si $X_2<X_1$ entonces $(U_1,U_2)=(X_2,X_1)$ .

Entonces, para cada conjunto $A$ tenemos que $$\begin{align} P( (U_1,U_2) \in A)&= P( (U_1,U_2) \in A \mid X_1>X_2) P( X_1>X_2)+ P( (U_1,U_2) \in A \mid X_1\le X_2) P( X_1 \le X_2)\\ &= \frac{1}{2} P( (U_1,U_2) \in A \mid X_1>X_2)+ \frac{1}{2} P( (U_1,U_2) \in A \mid X_1 \le X_2)\\ &=P( (X_1,X_2) \in A \mid X_1>X_2)+ \frac{1}{2} P( (X_2,X_1) \in A \mid X_1 \le X_2) \end{align}$$

¿Puede terminar esto de alguna manera?

Answer 1

La densidad de esta distribución es la misma que la de $X_1$ y $X_2$ , simplemente multiplicado por $2$ y restringido a $U_1\gt U_2$ . Eso es cierto para variables i.i.d. arbitrarias, no necesariamente distribuidas normalmente.

Answer 2

Supongamos que $X_{(1)}=\min(X_1,X_2)$ y $X_{(2)}=\max(X_1,X_2)$ . Dejemos que $f$ y $F$ denotan la función de densidad y distribución de la población (normal).

Entonces para $x<y$ la función de distribución de $(X_{(1)},X_{(2)})$ es

$$\begin{align}F(x,y)&=\Pr(X_{(1)}\le x,X_{(2)}\le y)\\&=\Pr(X_{(2)}\le y)-\Pr(X_{(1)}>x,X_{(2)}\le y)\\&=\Pr(X_1,X_2\le y)-\Pr(x<X_1,X_2\le y)\\&=(F(y))^2-\left(F(y)-F(x)\right)^2\end{align}$$

La segunda igualdad se deduce del hecho de que $\Pr(A\cap B^c)=\Pr(A)-\Pr(A\cap B)$ .

Así que el pdf de $(X_{(1)},X_{(2)})$ es $$\begin{align}f(x,y)&=\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}F(x,y)\\&=\frac{\partial}{\partial x}\left(2F(y)f(y)-2(F(y)-F(x))f(y)\right)\mathbf1_{x<y}\\&=2f(x)f(y)\mathbf1_{x<y}\end{align}$$

Este método se puede generalizar fácilmente para encontrar la función de distribución y, por tanto, la densidad de $(\min (X_1,\cdots,X_n),\max (X_1,\cdots,X_n))$ para cualquier población continua cuando el tamaño de la muestra es $n$ digamos. Aquí, por supuesto $n=2$ .