Ecuación diferencial de primer orden

Question

No tengo ni idea de cómo resolver la siguiente pregunta...

$xe^y\frac {dy}{dx} = e^y +1$

Lo que he hecho es...

$\frac {dy}{dx} = \frac 1x + \frac {1}{xe^e}; \frac {dy}{dx} - \frac {1}{xe^e} = \frac 1x$

Encuentra el factor integrador..

$v(x) = e^{P(x)}; where P(x) = \int p(x)dx \Rightarrow P(x) = \int \frac 1x dx = ln|x| \\v(x) = e^{P(x)} = e^{ln|x|} = x; \\ y = \frac {1}{v(x)} \int v(x)q(x) dx = \frac 1x \int {x}{\frac 1x} dx = 1+c$

Sé que he cometido un error en alguna parte. ¿Podría alguien aconsejarme al respecto?

Answer 1

Usted tiene $xe^y\frac{dy}{dx}=e^y+1$ por lo que, dividiendo ambos lados por $x$ y por $e^y+1$ obtenemos $$\begin{align*}\frac{e^y}{e^y+1}\frac{dy}{dx}=\frac1x\hspace{5pt}&\Rightarrow \hspace{5pt}\frac{e^y}{e^y+1}dy=\frac1xdx\hspace{5pt}\Rightarrow \hspace{5pt}\int\frac{e^y}{e^y+1}dy=\int\frac1xdx \\ &\Rightarrow\hspace{5pt}\ln(e^y+1)=\ln (C|x|)\hspace{5pt}\Rightarrow \hspace{5pt}e^y+1=C|x|\end{align*}$$