¿Por qué debe ser cierto que al aproximar todas las derivadas se obtiene la función original?

Question

Estoy tratando de entender la intuición detrás de la serie Taylor/Maclaurin.

Se tiene alguna función diferenciable $f(x)$ y quieres hacer una serie $g(x)$ donde $f^{n}(x) = g^{n}(x)$ es decir, el $n$ Las derivadas de cada una le dan la misma salida para alguna entrada.

Suponiendo que tenemos este concepto de salida derivada coincidente, ¿cómo sabemos que esto significa necesariamente $f(x)$ y $g(x)$ son representaciones equivalentes entre sí?

Normalmente estas aproximaciones se hacen en la vecindad de $x=0$ (y sí, podríamos usar $x=a$ pero para simplificar me gustaría quedarme con $0$ ), por lo que tiene sentido que $f(x)$ y $g(x)$ son iguales para cualquier $n$ la derivada que se quiere calcular en $x=0$ ya que así es como derivamos $g(x)$ en primer lugar.

Pero qué es exactamente lo que nos permite entonces tomar $g(x)$ y decir "Esto también funcionará para cualquier otro $x$ no sólo $0$ ya que es un equivalente a $f(x)$ "?

En otras palabras, no veo por qué es obvio que a través del método de creación de la serie de Taylor/Maclaurin $g(x)$ debemos tener necesariamente un equivalente para $f(x)$ .

Answer 1

No es obvio, y de hecho no es cierto. Usted no puede concluir que $f(x)=g(x)$ sólo porque todas sus derivadas coinciden en algún punto concreto. Por ejemplo, dejemos que $$f(x)= \begin{cases} 0 & \text{ if }x\leq 0 \\ e^{-1/x} & \text{ if }x>0.\end{cases}$$ Entonces $f$ es infinitamente diferenciable, y de hecho $f^{(n)}(0)=0$ para todos $n$ por lo que la serie de Taylor en torno a $0$ es sólo $0$ . Pero si $x>0$ entonces $f(x)$ ¡no es igual a esta serie de Taylor!

Más generalmente, una función típica infinitamente diferenciable es no igual a su expansión de Taylor alrededor de un punto. Una función que es igual a su expansión de Taylor en una vecindad de cualquier punto es muy especial y se llama analítica .

De hecho, la serie de Taylor de una función típica infinitamente diferenciable en torno a un punto no suele converger en ninguna parte (excepto en el propio punto). Por ejemplo, es posible construir una función infinitamente diferenciable $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $f^{(n)}(0)=(n!)^2$ . La serie de Taylor en torno a $0$ es entonces $\sum_n n! x^n$ que no converge para cualquier $x$ .

Lo que puede decir, sin embargo, es que si es posible representar una función $f(x)$ como una serie de potencias $\sum_n a_nx^n$ entonces esa serie de potencias debe ser la serie de Taylor para $f$ alrededor de $0$ . Esto se debe a que se puede diferenciar la serie de potencias término a término (aunque esto requiere algo de trabajo para hacerlo riguroso) para demostrar que si $f(x)=\sum_n a_n x^n$ para todos $x$ en un barrio de $0$ entonces $f^{(k)}(x)=\sum_n n(n-1)\dots(n-k-1)a_nx^{n-k}$ también y así enchufar $x=0$ da $f^{(k)}(0)=k!a_k$ . Es decir, $a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ . Así que si crees que tu función $f$ es lo suficientemente bueno como para ser representado por algunos serie de potencias, entonces la serie de Taylor es la única serie de potencias que podría funcionar.

Answer 2

La propiedad de las funciones que lo hace posible se llama "analiticidad". En general, no es cierto que una función esté determinada por su valor y sus derivadas en un punto. Un ejemplo famoso es la función $f(x)=e^{-1/x^2}$ cuando $x\neq 0$ y $f(0)=0$ . Se puede demostrar que todas las derivadas de esta función desaparecen en $x=0$ pero obviamente la función no es idéntica a cero. Por tanto, no es "analítica". Las funciones analíticas, como $e^x$ por ejemplo, puede ser representada por una serie de potencias infinitas cuyos coeficientes dependen únicamente de los valores de la función y de sus derivadas en un único punto.

Answer 3

Ya que pide una explicación intuitiva, considere un polinomio de grado $n$ .
Dicho polinomio está definido de forma única por $n+1$ puntos por los que pasa, es decir, es el mismo que el polinomio interpolador que pasa por esos puntos.
Cómo la $n+1$ La elección de los puntos no importa desde un punto de vista teórico (computacionalmente podría crear algunas dificultades).
Sea cual sea el método que se utilice para construir el polinomio interpolador (Newton, diferencias finitas, Lagrange, etc.) se acaba obteniendo la expresión del polinomio original que coincide con su serie de Taylor.

Esto significa que el $n+1$ se pueden elegir puntos "muy cercanos" entre sí y al origen, y el polinomio interpolador en el límite será el que tenga la misma $f_{(0)}(x),\,f_{(1)}(x),\, \cdots, \,f_{(n)}(x)$ .

Con esta premisa, cualquier función que pueda ser representada como un polinomio, en el límite de "grado infinito", o más rigurosamente un funciones analíticas como bien se cita en la respuesta anterior, coincidirá con su serie de Taylor.