Método de promediación de una EDO

Question

Hace unas semanas, me preguntaron lo siguiente en una tarea

Estudiar el sistema $\dot{x}(t)=-\epsilon x(t)\cos(t)$ por el método del promedio y compararlo con la solución exacta. Mi solución exacta es $$x(t)=x(0)\exp{[-\epsilon \sin(t)}]$$ Esto es muy sencillo de demostrar (se trata de una EDO separable). Pero no estoy muy seguro del método de promediación.
Hay una sección en la Mecánica de Arnold sobre este..... que no entiendo. Cualquier idea se agradece mucho.

Un resultado parcial es que la solución debería ser como la siguiente:

$$x(t) \approx x(0)(1-\epsilon t)$$ Esto se puede obtener expandiendo por Taylor la solución exacta de la exponencial, desechando los términos al cuadrado o superiores, y aproximando $\sin(t)$ por t.

Esto es lo que dice el libro de Arnold:

Dejemos que $I, \varphi$ sean variables de ángulo de acción en un sistema integrable ('no perturbado') con función hamiltoniana $H_0(I)$ : $$\dot{I}=0 ;\dot{\varphi}=\omega(I);\omega(I)=\frac{\partial H_0}{\partial I}$$

Como sistema cercano "perturbado" tomamos el sistema

$$\dot{\varphi}=\omega(I)+\epsilon f(I,\varphi); I=\epsilon g(I,\varphi) : \epsilon<<1$$

El $averaging$ $principle$ $for$ $the$ $system$ consiste en su sustitución por otro sistema, denominado sistema promediado:

$$\dot{J}=\epsilon \hat{g}(J); \hat{g}(J)=(2\pi)^{-k} \int_0^{2k}\cdots\int_0^{2k} g(J,\varphi) d\varphi _1,... d\varphi _k$$

Tengo una pequeña idea de cómo hacer esto... pero no muy clara.

Answer 1

Una mejor fuente para buscar los fundamentos del método de promediación es el libro de F. Verhulst "Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems".

En resumen, si tienes una ecuación de la forma $$\dot x=\varepsilon f(t,x)+\varepsilon ^2g(t,x,\varepsilon),$$ entonces, considerando $$f^0(y)=\frac{1}{T}\int_0^T f(t,y)dt,$$ es posible demostrar que la solución a $$\dot y=\varepsilon f^0(y)$$ es $\varepsilon$ -cerca de la solución $x(t)$ en la escala de tiempo $1/\varepsilon$ .