"Un caballero nunca elige una base".

Question

Alrededor de estas partes, el aforismo "Un caballero nunca elige una base", se ha vuelto popular.

Pregunta. ¿Existe una manera caballerosa de probar que el mapa natural de $V$ a $V^{**}$ es sobreyyector si $V$ es finito-dimensional?

Como en la vida, los estándares exactos para la caballerosidad son un poco vagos. Algunos argumentos parecen estar implícitamente eligiendo una base. Espero que haya un argumento que sea inequívocamente caballeroso.

Answer 1

Tal vez sería más apropiado responder a su pregunta con otra pregunta: ¿cómo distinguir un espacio vectorial de dimensión finita de uno de dimensión infinita sin hablar de bases?

Answer 2

Sobre un campo real o complejo (u otro similar), donde sabemos que para un espacio vectorial de dimensión finita todas las topologías razonables de espacio vectorial coinciden... V es denso en V en la topología débil, por lo tanto en todas las topologías, pero la topología (única) también está completa, por lo que V = V (creo que esto funciona y evita elegir una base. Por supuesto, también tendría que probar esos otros hechos sin elegir una base).

Answer 3

hay un mapa canónico $ev:V \to V^{**}$ definido por $ev(v)(\phi) = \phi(v)$. para comprobar que se trata de un isomorfismo en el ajuste de dimensión finita se puede simplemente comprobar que es inyectivo y esto es evidente a partir de la definición.