Zonas en triángulo

Question

En el anterior triángulo rectángulo isósceles ABC, con sus dos lados $AB = AC = 1$ unidad, tomamos un punto aleatorio D en la hipotenusa y trazamos rectas perpendiculares a los lados AB y AC, que los intersecan en los puntos E y F respectivamente. Demostrar que el máximo de las tres áreas AFDE, EBD y CDF es siempre $\geq \frac {2}{9}$ .

Si ponemos $EB = x$ entonces, el área $EBD = \frac {x^2}{2}$ ,

$AFDE = (1-x)*x$ ,

$CDF = \frac {(1-x)^2}{2}$ .

También $AFDE + EBD + CDF = \frac {1}{2}$ .

Está claro que las 3 áreas no pueden ser iguales. Sólo podemos tener 2 de ellas iguales, cuando $x=0.5$ o $x=0.33$ o $x=0.66$ .

Cuando $x=0.33 = \frac {1}{3}$ entonces

$EBD = \frac {x^2}{2} = \frac{1}{18}$ y $AFDE = CDF = \frac{1}{2}*(\frac{9}{18}-\frac{1}{18}) = \frac{2}{9}$ .

Pero no sé si esto es una prueba suficiente.

Answer 1

Sí, tienes razón al compararlos de esta manera.

Pero en realidad, deberías tener un array dividido en intervalos

$$[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]$$

mostrando cuál está "en lo más alto del podio" en cada intervalo. Esto se hace bastante convincente en términos de análisis, es decir, cuando se ve con curvas.

Fig. 1: Curvas con ecuaciones $y=\dfrac12 x^2, \ y=x(1-x), \ y=\dfrac12 (1-x)^2$ en rojo, negro, azul resp. Su función máxima, en verde, está siempre por encima de la ordenada de la intersección de las dos primeras curvas, o de las dos últimas también, que es $\tfrac29$ . Por lo tanto, ha hecho bien en comparar los casos de igualdad.

Edición: Estos tres polinomios, hasta un factor $\frac12$ son los mismos que los de la tercera figura aquí . Son casos particulares de una familia general llamada "polinomios de Bernstein", útiles en distintas partes de las matemáticas, como las curvas de Bezier o la probabilidad (estadística de orden).

Answer 2

Eso es correcto, pero no bastante suficiente. Denotemos las áreas de las tres formas $\alpha,\beta,\gamma$ (donde $\alpha$ representa el triángulo superior, $\beta$ el rectángulo y $\gamma$ el más bajo.

Entonces: $$\max_{x\in[0,1]}\{\alpha,\beta,\gamma\}=\begin{cases}\gamma & 0\leq x\leq \frac13 \\ \beta & \frac13\leq x\leq \frac23 \\ \alpha & \frac23\leq x\leq 1\end{cases}$$

Esto es el resultado de las igualdades que has encontrado (de hecho, indican cuándo cambia la función detrás del máximo).

Por lo tanto, simplemente hay que demostrar que cada función es $\geq \frac29$ en el dominio en el que es máxima.

Answer 3

Comienza con D como punto medio de BC. WLOG, imagina que D se mueve hacia arriba en una distancia vertical de $\Delta x$ .

\begin{align}S_{AEDF}=\frac{1}{4}-\Delta x^2, S_{\triangle DFC}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\Delta x)^2\end{align}

\begin{align}S_{AEDF}\geq \frac{2}{9}(\Delta x \leq\frac{1}{6})\\ S_{\triangle DFC}\geq \frac{2}{9}(\Delta x\geq \frac{1}{6})\end{align}

Se puede obtener una conclusión similar si D se desplaza hacia abajo en $\Delta x$ .