Evaluar $f(z)=\int_0^1 \frac{dt}{t-z}$ donde $z\in \mathbb{C}-[0,1]$ .

Question

Evaluar $\displaystyle f(z)=\int_0^1 \frac{dt}{t-z}$ donde $z\in \mathbb{C}-[0,1]$ . Aquí, $0\leq t \leq 1$ .

Mi intento:

¿Podemos utilizar aquí las mismas reglas de integración que en la integración real? Me refiero a si $$ f(z)=\int_0^1 \frac{dt}{t-z}=\left[\ln|t-z|\vphantom{\frac11}\right]_0^1\text{ ?}$$

Answer 1

Un simple error es que tienes $\ln|t-z|$ en el que debe haber pretendido $\ln|t|-\ln|z|$ .

Advertencia de activación: Si la frase "función de valores múltiples" le causa dolor, deje de leer antes de esta frase.

Tenga en cuenta que si $z=x+iy$ y $x$ y $y$ son reales entonces $$ e^z = e^x e^{iy} = e^x (\cos y+ i\sin y) $$ y, como la función $y\mapsto \cos y + i\sin y$ es periódica (con periodo $2\pi$ ), la función $z\mapsto e^z$ no es uno a uno. Obsérvese que $e^{x+iy} = e^{x+iy+2\pi in}$ ya que $e^{2\pi in}=1$ . En consecuencia, la inversa de $z\mapsto e^z$ es una función multivaluada $$ \operatorname{Log}(w) = \operatorname{Log}(e^{x+iy}) = x + iy +2\pi in $$ para $n\in\mathbb Z$ .

Así que $$ \int\limits_{\begin{smallmatrix} \text{some path} \\ \text{from $a$ to $b$} \end{smallmatrix}} \frac{dz} z = (\text{one of the values of }\operatorname{Log}b) - (\text{one of the values of }\operatorname{Log}a). $$ Que uno de los valores es depende de qué camino de $a$ a $b$ es. Concretamente en la expresión $x+iy + 2\pi in$ El valor de $n$ aumenta en $1$ cada vez que el camino serpentea $0$ en sentido contrario a las agujas del reloj. Imagen $t$ moviéndose a lo largo de una línea recta desde $0$ a $1$ y supongamos por el momento que $z=(1+i)/2$ . Entonces $t-z$ comienza como $-(1+i)/2$ y termina como $(1-i)/2$ y la línea de $z$ a $t$ cambia de dirección yendo del suroeste al sureste, girando $90^\circ$ en sentido contrario a las agujas del reloj, es decir $\pi/2$ radianes en sentido contrario a las agujas del reloj. Por lo tanto, la parte imaginaria de la integral es $i \pi/2$ . Las dos partes reales que se empiezan a restar son iguales ya que $|-(1+i)/2| = |(1-i)/2|$ por lo que la integral es $i\pi/2$ .

Si quieres hacerlo por métodos parecidos a los técnicos que se aprenden en primer curso de cálculo, puedes escribir: \begin{align} & \int_0^1 \frac{dt}{t-z} = \int_0^1 \frac{dt}{t-x-iy} = \int_0^1 \frac{(t-x+iy)\,dt}{(t-x)^2+y^2} \\[10pt] = {} & \int_0^1 \frac{(t-x)\,dt}{(t-x)^2+y^2} + i \int_0^1 \frac{y\,dt}{(t-x)^2+y^2} \\[10pt] = {} & \int_{x^2+y^2}^{(x-1)^2+y^2} \frac{du/2}{u} + i \int_0^1 \frac{dt/y}{\left( \frac{t-x} y \right)^2+1} = \int_{x^2+y^2}^{(x-1)^2+y^2} \frac{du/2}{u} + i \int_{-x/y}^{(1-x)/y} \frac {dv}{v^2+1} \\[10pt] = {} & \frac 1 2 \log \frac{(x-1)^2+y^2} {x^2+y^2} + i \left( \arctan\frac{1-x} y - \arctan \frac{-x} y \right) \\[10pt] = {} & \frac 1 2 \log \frac{(x-1)^2+y^2} {x^2+y^2} + i \arctan \frac{y}{y^2+x^2-x}. \end{align} Esto es una función de $x$ y $y$ y quizás después queramos averiguar si lo escribimos como una función de $z=x+iy$ .