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Desigualdades del álgebra

Me gustaría demostrar que para cualquier número real x y y la función |x+ty|1+t2 , donde t es variable, siempre es menor o igual que x2+y2

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Math Lover Puntos 335

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos (1×x+t×y)2(12+t2)(x2+y2)(1+t2)2(x2+y2). En consecuencia, |x+ty|1+t2x2+y2.

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egreg Puntos 64348

Desde 1+t21+t2 tenemos |x+ty|1+t2|x+ty|1+t2 por lo que se puede demostrar la desigualdad más fuerte |x+ty|1+t2x2+y2 Esto equivale a (x+ty)2(1+t2)(x2+y2) que a su vez equivale a x2+2txy+t2y2x2+y2+t2x2+t2y2 o t2x22txy+y20 lo cual es cierto.

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Farkhod Gaziev Puntos 6

Dejemos que x=rcosu,y=rsinu donde r>0

r|cosu+tsinu|1+t2=r|cos(uarctant)|1+t2r1+t2r como t20

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