Regla de integración óptima para el cuadrado de la derivada

Question

Digamos que tengo una función $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ , de tal manera que $f^{(3)}$ existe y está acotado. Quiero aproximar $\int_{0}^{1} (f'(x))^2 dx$ utilizando los valores $f(\frac{i}{n})$ , $0 \le i \le n$ . (denotaremos $\frac{1}{n}$ por $h$ para facilitar la lectura).

La aproximación ingenua es $f'(x) \sim \frac{f(ih)-f((i-1)h)}{ih-(i-1)h}$ en $[(i-1)h,ih]$ , lo que da $\int_{0}^{1} (f'(x))^2 dx \sim h\sum_{i=1}^{n} (\frac{f(ih)-f((i-1)h)}{h})^2$ . Utilizando la expansión de Taylor de $f$ y $f'$ da que el término de error es $O(h^2)$ con una constante que depende del máximo de $|f^{(i)}|$ en $[0,1], 1\le i \le 3$ .

Mi pregunta es: ¿podemos hacerlo mejor? ¿Existe una regla de integración que utilice $f(ih)$ con error de orden $O(h^p), p>2$ ?

Answer 1

No es exactamente una respuesta, pero Cruz-Uribe y Neugebauer analizaron y obtuvimos límites de error agudos de las reglas trapezoidal y de Simpson para funciones de baja regularidad. En realidad, no consideran $C^2$ pero sus resultados se aplican al espacio de Sobolev $W^{2,\infty}$ que es esencialmente la misma norma que se utiliza en el $C^2$ estimación de todos modos. (Al hacer una transformación $f(x) \to f(x) + Cx$ para grandes $C$ , ves que los problemas con respecto a las estimaciones de error para tu problema original son idénticos a los problemas para las estimaciones de error para las integrales de funciones genéricas dos veces diferenciables). Demostraron que en la escala de $O(h^s)$ , $s = 2$ es agudo tanto para las reglas trapezoidales como para las de Simpson. Su análisis probablemente puede aplicarse también a todos los esquemas de integración numérica de la serie de Newton-Cotes, obteniendo el mismo resultado.

Pero especialmente interesante es el Teorema 1.23, que muestra que utilizando la regla de Simpson para el caso dos veces diferenciable el error es realmente $o(h^2)$ mientras que la regla trapezoidal es de buena fe $O(h^2)$ (a menos que su función sea lineal). En vista de su teorema anterior, esto sugiere que puede haber una corrección logarítmica adicional disponible en la estimación del error si se utiliza la regla de Simpson. (Por otro lado, es muy probable que los esquemas de Newton-Cotes de orden superior no lo hagan mejor [y posiblemente lo hagan incluso peor; en el artículo se demostró que para funciones una vez diferenciables o meramente continuas de Hölder, la regla trapezoidal realmente supera a la de Simpson, ya que esta última puede recoger artefactos de alta frecuencia] para funciones sólo dos veces diferenciables).