Comprender la acción del grupo

Question

En general, ¿se supone que debemos hacer una conjetura sobre lo que el $G$ -set es para una acción de grupo es si no se especifica? Aquí hay dos ejemplos de lo que quiero decir.

Me piden que encuentre un punto fijo para el grupo diedro del cuadrado. Normalmente, cuando pienso en la acción del grupo en un cuadrado, pienso que las simetrías están moviendo los vértices. Sin embargo, si lo veo así, entonces no hay punto fijo para el cuadrado. ¿Debo tomar en su lugar el $G$ -¿es el conjunto de todos los puntos del cuadrado, de modo que el origen es un punto fijo?

Del mismo modo, ¿el $G$ -para $S_{4}$ sea el conjunto $X = \{1,2,3,4\}$ ? Entonces la órbita de 1 es $\{1,2,3,4\}$ porque, por ejemplo, $i*1 = 1$ y $(12)*1 = 2$ ¿ y así sucesivamente?

Answer 1

Dado un grupo $G$ y $G$ -Ajustar $X$ pero donde no se nos dice la $G$ -acción, en general no se puede deducir cómo $G$ actúa sobre $X$ . A veces debería quedar claro por el contexto: $S_4$ actúa de forma natural en $\{1,2,3,4\}$ y $D_4$ actúa naturalmente sobre los vértices de un cuadrado. Sin embargo, también sobre un $G$ -acción de $D_4$ en los vértices de un cuadrado haciendo que cada elemento actúe como la identidad.

Cuando hablamos de puntos fijos en acciones de grupo, normalmente hablamos de los puntos fijos de un solo elemento de $G$ . Por ejemplo, las rotaciones no triviales en $D_4$ no tienen puntos fijos.