Dejemos que $A$ ser un $3$ por 3 con cada fila siendo un vector unitario en la esfera unitaria de $\mathbb{R}^{3}$ entonces pueden los valores propios de $AA^{t}$ expresarse en términos de algunas relaciones geométricas o cantidades geométricas entre los vectores de fila de $A$ en la esfera de la unidad? Muchas gracias.
Respuestas
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Thibaut Barrère
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El término " geométrico '' suele referirse a algo que es independiente de las coordenadas euclidianas. Las filas de $A$ no son geométricos en este sentido.
He aquí una interpretación dinámica de los valores propios. Es geométrica en el sentido de que es independiente de las coordenadas. Supondré que $A$ es genérico. Entonces la superficie $E=(AA^tx,x)=1$ $\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}$ es un elipsoide en $\bR^3$ .
Piensa en la esfera $\Sigma_t=\{\Vert x\Vert=t\}$ como un frente de onda en movimiento generado por un ¡Ping! en el origen, en el momento $t=0$ . Este frente de onda se volverá tangente a $E$ en tres momentos del tiempo $t_1<t_2< t_3$ . Los valores propios de $AA^t$ son $t_1^{-2}, t_2^{-2}, t_3^{-2}$ .
kixx
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Además del caso del comentario (filas ortogonales $\Leftrightarrow$ valores propios unitarios), otro caso sencillo es cuando los tres vectores fila se encuentran en un plano. El ángulo entre los $i$ y el $j$ -la fila es $\theta_{ij}$ . Un valor propio es cero, los otros dos son $$\tfrac{3}{2} \pm\sqrt{ \cos^2 \theta_{12}+ \cos^2 \theta_{13}+ \cos^2 \theta_{23}-\tfrac{3}{4}}.$$ El caso totalmente general tiene expresiones mucho más complicadas.
