Derivada de la inversa de una matriz

Question

En un paper científico, he visto lo siguiente

$$\frac{\delta K^{-1}}{\delta p} = -K^{-1}\frac{\delta K}{\delta p}K^{-1}$$

donde $K$ es una matriz de $n \times n$ que depende de $p$. En mis cálculos habría hecho lo siguiente

$$\frac{\delta K^{-1}}{\delta p} = -K^{-2}\frac{\delta K}{\delta p}=-K^{-T}K^{-1}\frac{\delta K}{\delta p}$$

¿Está mal mi cálculo?

Nota: Creo que $K$ es simétrica.

Answer 1

El principal problema en cálculo matricial es que las cosas ya no conmutan, pero uno tiende a usar fórmulas del cálculo de funciones escalares como $(x(t)^{-1})'=-x(t)^{-2}x'(t)$ reemplazando $x$ con la matriz $K`. Aquí hay que ser más cuidadoso y prestar atención al orden. La forma más fácil de obtener la derivada de la inversa es derivar la identidad $I=KK^{-1}` respetando el orden $$ \underbrace{(I)'}_{=0}=(KK^{-1})'=K'K^{-1}+K(K^{-1})'. $$ Al resolver esta ecuación con respecto a $(K^{-1})'$ (¡prestando atención nuevamente al orden (!)) se tendrá $$ K(K^{-1})'=-K'K^{-1}\qquad\Rightarrow\qquad (K^{-1})'=-K^{-1}K'K^{-1}. $$

Answer 2

Sí, tu cálculo está incorrecto, nota que $K$ puede no conmutar con $\frac{\partial K}{\partial p}$, por lo tanto debes aplicar correctamente la regla de la cadena. La derivada de $\def\inv{\mathrm{inv}}\inv \colon \def\G{\mathord{\rm GL}}\G_n \to \G_n$ no está dada por $\inv'(A)B = -A^2B$, sino por $\inv'(A)B = -A^{-1}BA^{-1}$. Para ver eso, nota que para suficientemente pequeño $B$ tenemos \begin{align*} \inv(A + B) &= (A + B)^{-1}\\ &= (\def\I{\mathord{\rm Id}}\I + A^{-1}B)^{-1}A^{-1}\\ &= \sum_k (-1)^k (A^{-1}B)^kA^{-1}\\ &= A^{-1} - A^{-1}BA^{-1} + o(\|B\|) \end{align*} Por lo tanto, $\inv'(A)B= -A^{-1}BA^{-1}$, y por lo tanto, por la regla de la cadena $$ \partial_p (\inv \circ K) = \inv'\circ K\bigl(\partial_p K) = -K^{-1}(\partial_p K) K^{-1} $$

Answer 3

De hecho, podemos calcular directamente la derivada de una matriz comenzando desde la definición de la derivada de funciones. En particular, \begin{align} \frac{dK^{-1}}{dp} & =\lim_{\Delta p \to 0} \frac{(K+\Delta K)^{-1} - K^{-1}}{\Delta p} \\ {} & = \lim_{\Delta p \to 0} \frac{(K+\Delta K)^{-1}KK^{-1} - (K+\Delta K)^{-1}(K+\Delta K)K^{-1}}{\Delta p} \\ {} & = \lim_{\Delta p \to 0} \frac{(K+\Delta K)^{-1}(-\Delta K) K^{-1}}{\Delta p} \\ {} & = - K^{-1} \lim_{\Delta p \to 0} \frac{\Delta K}{\Delta p} K^{-1} \\ {} & = - K^{-1} (\partial_{p} K) K^{-1} \end{align}

Answer 4

Otro método relacionado es usar diferenciales. $$ d\mathbf{K}^{-1}= -\mathbf{K}^{-1} (d\mathbf{K}) \mathbf{K}^{-1} $$ y $d\mathbf{K}= \frac{\partial \mathbf{K}}{\partial p} dp$ Así $$ d\mathbf{K}^{-1}= -\left[\mathbf{K}^{-1} \frac{\partial \mathbf{K}}{\partial p} \mathbf{K}^{-1} \right] dp $$ de donde se sigue que $$ \frac{\partial \mathbf{K}^{-1}}{\partial p} = -\mathbf{K}^{-1} \frac{\partial \mathbf{K}}{\partial p} \mathbf{K}^{-1} $$

Answer 5

Dada una matriz cuadrada K, tenemos

\begin{align} KK^{-1} &= I \\ \implies \frac{d(KK^{-1})}{dp} &=\frac{d(I)}{dp}\\ \end{align} para simplificar la notación, usamos $dK = \frac{dK}{dp}$, entonces \begin{align} (dK)K^{-1} + K(dK^{-1})&=0\\ \implies K(dK^{-1})&= -(dK)K^{-1}\\ \implies dK^{-1}&= -K^{-1}(dK)K^{-1}\\ \end{align}

lo que produce: $$\frac{dK^{-1}}{dp}= -K^{-1}\frac{dK}{dp}K^{-1}$$