Precisión de las medidas (Cálculo 1)

Question

Supongamos que vives en una línea recta. Hay varios satélites a la altura $20, 000$ kilómetros y se obtienen lecturas que dicen que el satélite 1 está directamente sobre el punto $x_1 ± 10^{10}$ y está a una distancia $h_1 = 21, 000 ± 10^{2}$ de ti, el satélite 2 está directamente encima $x_2 ± 10^{10}$ y a distancia $h_2 = 52, 000 ± 10^{2}$ . ¿Dónde estás? $x_0$ ) y con qué precisión? Sugerencia: Considere por separado los casos $x_1 < x_2$ y $x_2 > x_1$ .

Mis resultados:

En realidad tenemos dos ecuaciones: $$(x_1 - x_0)^2 + (2\cdot10^4)^2 = h_1^2$$ $$(x_2 - x_0)^2 + (2\cdot10^4)^2 = h_2^2$$

Podemos expresar $x_0$ de ellos como: $$x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} + \frac{(h_1 - h_2)(h_1 + h_2)}{2(x_2 - x_1)}$$

Pero, ¿cómo calcular la precisión de la medición? Tengo problemas con $x_2 - x_1$ en el denominador.

Answer 1

Su expresión para $x_0$ es incorrecto. Restando la primera ecuación de la segunda (que también hay que modificar, como se indica en mi comentario), obtenemos: $$(x_2-x_1)(x_2+x_+-2x_0)=h_2^2-h_1^2$$ Lo que significa: $$x_0=\frac {x_1+x_2}{2}-\frac {h_2^2-h_1^2}{2(x_2-x_1)}$$ Tenga en cuenta que los errores de medición son mucho menores que las propias mediciones. Así, tomando un diferencial, que puede ser aproximado como el error, obtenemos: $$dx_0=\frac {dx_1+dx_2}{2}- \left(\frac {(x_2-x_1)(2 h_2 dh_2-2 h_1 dh_1)-(h_2^2-h_1^2)(dx_2-dx_1)}{2(x_2-x_1)^2}\right)$$ Aquí, $dx_1=10^{-10}=dx_2$ y $dh_2=10^{-2}=dh_1$ .

El segundo diferencial es simplemente una consecuencia de $d(\frac vu)=\frac {vdu-udv}{u^2}$ .

Por lo tanto, el error en $x_0$ así como $x_0$ se calcula.