Este es un tipo de problema habitual en los concursos de matemáticas. Me preguntaba si existe una solución general, o al menos una estrategia general, para resolver este tipo de problemas. Se me ocurren muchas estrategias específicas que he utilizado a lo largo de los años, pero lo que quiero saber es si existe un método general.
Gracias de antemano.
La existencia de puntos estacionarios $a_1$ y $a_2$ y el signo de $f(a_1)f(a_2)$ debería decirte para un intervalo arbitrario. (Con el hecho añadido de que f es una función continua cúbica, por supuesto). Propondré un teorema (que no estoy seguro de si existe un nombre para él o no).
$$\text{Let} \quad f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} \quad \text{be a cubic polynomial and let} \quad a_1, a_2 \quad \text{be stationary points (if they exist)}. \\ \text{Then} \quad f \quad \text{has} \\ \text{one zero if} \quad f \quad \text{has no stationary points or has two stationary points such that} \quad f(a_1)f(a_2) > 0 \\ \text{two repeated zeroes and one other zero if} \quad f \quad \text{has two stationary points such that} \quad f(a_1)f(a_2) = 0 \\ \text{three DISTINCT roots if} \quad f \quad \text{has two stationary points such that} \quad f(a_1)f(a_2) < 0$$
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