¿Qué es lo que pide esta pregunta sobre los componentes vectoriales?

Question

Esta es una pregunta de mis deberes:

Dos vectores están dados por a = 1,9i + 3,2j y b = 1,6i + 8,6j. Encuentra (a)|a × b|, (b)a - b (c)(a + b) - b, y (d) la componente de a a lo largo de la dirección de b?

Me parece bien a-d, pero no sé qué piden en d). ¿Alguna idea de qué es lo que quiere este problema?

Answer 1

Sí. Le piden que calcule cuál es la longitud de $a$ después de haber sido proyectada sobre el eje que pasa por el vector $b$ .

Otra forma de decir esto : Si dibujas tus vectores $\vec a$ y $\vec b$ en el plano, se puede elegir un vector que sea ortogonal a $\vec b = (1.6,8.6)$ Por ejemplo $\vec c = (-8.6,1.6)$ porque en general un vector de la forma $(x,y)$ es ortogonal al vector $(-y,x)$ (basta con calcular el producto escalar para confirmarlo). Después, se quiere añadir un determinado múltiplo de este vector ortogonal a $\vec a$ para garantizar que $\vec a + \lambda \vec c$ es paralelo a $\vec b$ es decir, que usted proyectado ortogonalmente $\vec a$ en $\vec b$ . Digamos que esto se hace, es decir, que $$\vec a + \lambda \vec c = \mu \vec b$$ entonces calculando el producto escalar por $\vec b$ en ambos lados, se obtiene $$\vec b \cdot \vec a = \vec b \cdot \vec a + \lambda (0) = \vec b \cdot \vec a + \lambda (\vec b \cdot \vec c)= \vec b \cdot (\vec a + \lambda \vec c) = \mu \vec b \cdot \vec b \quad \Longrightarrow \quad \mu = \frac{\vec b \cdot \vec a}{\vec b \cdot \vec b}.$$ porque por construcción $\vec b \cdot \vec c = 0$ . Ahora el componente de $\vec a$ a lo largo de la dirección de $\vec b$ es precisamente $$\mu \| \vec b \| = \frac{\vec b \cdot \vec a}{\vec b \cdot \vec b} \sqrt{ \vec b \cdot \vec b} = \frac{\vec b \cdot \vec a}{\sqrt{\vec b \cdot \vec b}}.$$ Espero que eso ayude.