Contraejemplo de subgrupo normal

Question

Tengo problemas con la segunda parte de esta pregunta,

Dejemos que $H$ sea un subgrupo normal de $G$ con $|G:H| = n$ ,

i) Demostrar $g^n \in H$ $\forall g \in G$ (lo cual he hecho)

ii) Dé un ejemplo para demostrar que todo esto es falso cuando $H$ no es normal en $G$ .(que tengo problemas para mostrar)

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Sugerencia: Si $H$ no es normal en $G$ entonces $G$ es necesariamente no abeliano. Considera el grupo no abeliano más pequeño que conozcas.

Answer 2

Vea mis respuestas aquí Si $[G:H]=n$ ¿es cierto que $x^n\in H$ para todos $x\in G$ ? . Puede tomar $H$ para ser cualquier no normal Sylow $p$ -subgrupo de $G$ .