Equivalencia de homotopía, homotopía relativa y extensión continua

Question

Dejemos que $ X $ sea un espacio topológico, $ a\in S^1 $ y $ f:\ S^1\rightarrow X $ un mapa continuo. Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) $ f $ y un mapa constante $ g $ son homotópicas respecto a $ \{a\} $ .

(b) $ f $ es homotópico a un mapa constante $ g $ .

(c) $ f $ puede extenderse de forma continua a un mapa continuo $ \tilde{f}:\ D^2\rightarrow X $ .

(a) a (b) es trivial. Sin embargo, no sé cómo mostrar (b) a (c) y (c) a (a). Desgraciadamente, no puedo mostrar ningún progreso hasta ahora. No tengo ni idea de cómo enfocar esta prueba. Tal vez alguien pueda ayudar.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

$b) \Rightarrow c)$

Dejemos que $f$ sea homotópico a un mapa constante, es decir, existe una homotopía $H:S^1\times[0,1]\to X$ tal que $H(\cdot, 0) = f$ , $H(\cdot,1) = g$ donde $g = \operatorname{const}$ .

Desde $H$ es constante para $t = 1$ induce un mapa continuo $D^2 \simeq (S^1\times[0,1]/S\times\{1\}) \to X$ .

Desde $f:S^1 \to X$ se define en la frontera $\partial D^2$ , $\overline{f}:D^2 \to X$ es una extensión continua de $f$ Es decir $$\overline{f}|_{S^1} = f$$ así $f = \overline{f} \circ i$ donde $i:S^1 \hookrightarrow D^2$ denota el mapa de inclusión.