Análisis

Question

Mostrar que <span class="math-container">$\displaystyle{\int_0^1 \log \log \left(\frac{1}{x}\right) \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{2}\log \left(\sqrt{2\pi} \Gamma\left(\frac{3}{4}\right) / \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)\right)}$</span>

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Resuelve la integral $S_k = (-1)^k \int_0^1 (\log(\sin \pi x))^k dx$

No se me ocurre un cambio de variable ni de otros métodos integradores. Tal vez hay un método conocido que me estoy perdiendo.

Answer 1

Véase también la fórmula de V. Adamchik $$\int_0^1 \frac{x^{p-1}}{1+x^n}\log \log \frac{1}{x}dx = \frac{\gamma+\log(2n)}{2n}(\psi(\frac{p}{2n})-\psi(\frac{n+p}{2n}))+\frac{1}{2n}(\zeta'(1,\frac{p}{2n})-\zeta'(1,\frac{n+p}{2n}))$$ en http://dx.doi.org/10.1145/258726.258736.