Prueba de la separabilidad de $L^2(\mathbb{R})$ sin el teorema de Stone-Weierstrass

Question

¿Existe una prueba más elemental del hecho de que $L^2(\mathbb{R})$ es un espacio de Hilbert separable? El que conozco utiliza el hecho de que el conjunto de polinomios es denso en $C([0,1])$ (el teorema de Stone-Weierstrass), pero me pregunto si se puede hacer algo más sencillo.

Answer 1

Si $S$ es el conjunto de todas las funciones de la forma $$f=\sum_1^n\alpha_j\chi_{(a_j,b_j)}$$ donde $\alpha_j$ , $a_j$ y $b_j$ son todos racionales entonces $S$ es contable y no es difícil demostrar $S$ es denso en $L^2$ .

Answer 2

Podrías usar este argumento: Es suficiente con mostrar $L^2[-a,a]$ es separable para cada $a>0.$ Cada uno de ellos es isomorfo a $L^2[0,2\pi].$ En el último espacio los exponenciales $\{e^{int}:n\in \mathbb Z\}$ forman una base ortonormal. Por tanto, el conjunto de polinomios trigonométricos con coeficientes racionales, que es contable, es denso en $L^2[0,2\pi].$

Answer 3

El comentario de David Ullrich es la prueba más rápida que conozco. No obstante, ampliaré la respuesta de zhw y mostraré que no es necesario utilizar el Teorema de Stone-Weierstrass para demostrar que las exponenciales abarcan mucho. $L^{2}([0,1])$ . Para cada $n \in \mathbb{Z}$ , dejemos que $e_{n} : [0,1] \to \mathbb{C}$ sea dada por $e_{n}(x) = e^{i 2 \pi n x}$ . Afirmo que $\text{span}\{e_{n} \, \mid \, n \in \mathbb{Z}\}$ es denso en $L^{2}([0,1])$ .

Recordemos la definición de los coeficientes de Fourier de a $L^{2}([0,2 \pi])$ función: si $f \in L^{2}([0,1])$ y $n \in \mathbb{Z}$ entonces el $n$ coeficiente de Fourier de $f$ viene dada por $$\hat{f}(n) = \int_{0}^{1} f(x) e^{- i 2 \pi n x} \, dx.$$
Dado $N \in \mathbb{N}$ definan el núcleo de Fejer $K_{N} : [0,1] \to \mathbb{C}$ por $$K_{N}(x) = \sum_{|j| \leq N} \left(1 - \frac{|j|}{N} \right) e^{i 2 \pi j x}.$$ Después de algunos cálculos, obtenemos $$K_{N}(x) = \frac{1}{N} \left(\frac{\sin(N \pi x)}{\sin(\pi x)}\right)^{2}.$$ En particular, $0 \leq K_{N}(x) \leq C N^{-1} \min\{N^{2},x^{-2}\}$ . Nuestra definición original muestra que $\int_{0}^{1} K_{N}(x) \, dx = 1$ y la desigualdad que acabamos de exponer muestra que $$\forall \delta > 0 \quad \lim_{N \to \infty} \int_{\{x \in [-1/2,1/2] \, \mid \, |x| > \delta\}} K_{N}(x) \, dx = 0.$$ Esto demuestra que la familia $\{K_{N}\}_{N \in \mathbb{N}}$ es un identidad aproximada . En concreto, el siguiente hecho es estándar: \begin{align*} \forall f \in C(\mathbb{T}) \quad K_{N} * f \to f \quad \text{uniformly}, \end{align*} donde $C(\mathbb{T}) = \{f \in C([0,1]) \, \mid \, f(0) = f(1)\}$ . A partir de esto, la densidad de $C(\mathbb{T})$ en $L^{2}([0,1])$ y las propiedades de $\{K_{N}\}_{N \in \mathbb{N}}$ obtenemos \begin{align*} \forall f \in L^{2}([0,1]) \quad K_{N} * f \overset{L^{2}}\to f. \end{align*} Sin embargo, tenga en cuenta que $$(K_{N} * f)(x) = \sum_{|j| \leq N} \left(1 - \frac{|j|}{N}\right) \hat{f}(j) e^{i 2 \pi j x}.$$ En particular, $K_{N} * f \in \text{span}\{e_{n} \, \mid \, n \in \mathbb{Z}\}$ . Esto demuestra $\text{span}\{e_{n} \, \mid \, n \in \mathbb{Z}\}$ es denso en $L^{2}([0,1])$ .

Dado $a > 0$ nuestro trabajo anterior se extiende a $L^{2}[-a,a]$ trabajando con las funciones $e_{n}(x) = e^{\frac{i \pi n x}{a}}$ en su lugar. Ahora que sabemos que $L^{2}([-N,N])$ tiene un subconjunto denso contable para cada $N$ podemos utilizar $$\forall f \in L^{2}(\mathbb{R}) \quad f \chi_{[-N,N]} \overset{L^{2}}\to f$$ para concluir.