Clase de similitud de $3 \times 3$ matrices con entradas en $\mathbb{F}_3$

Question

He tratado de resolver el siguiente problema.

Encuentre un representante para cada clase de similitud de $3 \times 3$ matrices $A$ con entradas en $\mathbb{F}_3 = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ tal que $A^4 = A$ .

Mi idea: si $A$ es una matriz invertible, entonces $A^3 = I$ lo que implica que el polinomio mínimo de $A$ divide $x^3 - 1 = (x - 1)(x + 2)(x + 2)$ . En este punto, puedo analizar todos los casos posibles y determinar a partir de ellos las clases de similitud. Sin embargo, si $A$ no es invertible, entonces tendré demasiados casos que analizar; así que no estoy seguro de si estoy enfocando esto desde la perspectiva equivocada.

Answer 1

No es necesario considerar el caso invertible por separado. El polinomio mínimo de $A$ debe dividir $x^4-x=x(x^3-1)=x(x-1)^3$ en $\mathbb F_3$ . Esto dará las formas posibles para el polinomio característico, que tiene grado $3$ y debe tener exactamente los mismos factores irreducibles que el polinomio mínimo. Hay muchos casos, pero no es tan complicado.