Problema 3-38 en Cálculo sobre variedades de Spivak

Question

Esto no son deberes. El problema 3-38 dice:

Sea $A_{n}$ sea un conjunto cerrado contenido en $(n,n+1)$ . Supongamos que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ satisface $\int_{A_{n}}f=(-1)^{n}/n$ y $f(x)=0$ para $x\notin$ cualquier $A_{n}$ . Hallar dos particiones de la unidad $\Phi$ y $\Psi$ tal que $\sum_{\phi\in\Phi}\int_{\mathbb{R}}\phi\cdot f$ y $\sum_{\psi\in\Psi}\int_{\mathbb{R}}\psi\cdot f$ convergen absolutamente a valores diferentes.

Algunas observaciones: Primero, $n\ge 1$ . En segundo lugar, Spivak utiliza lo que denomina una integral ampliada , cuya definición y relaciones con la integral habitual se encuentran en la p.65, que se puede encontrar ici o ici .

Puede ser útil tener en mente un ejemplo de una función de este tipo. Sea $A_{n}=$ intervalo cerrado de longitud $1/2n$ centrado en el punto $(2n+1)/2$ . Claramente $A_{n}\subset(n,n+1)$ . entonces defina $$f(x)=\begin{cases} \hphantom{-}2& \text{if $x\in A_{n}$ for $n$ even}\\ -2& \text{if $x\in A_{n}$ for $n$ odd}\\ \hphantom{-}0& \text{otherwise}. \end{cases}$$

Un posible enfoque: Sea $a_{n}=(-1)^{n}/n$ . Desde $\sum_{n}a_{n}=\alpha\in\mathbb{R}$ pero la convergencia es condicional, entonces para cualquier $\beta\not=\alpha$ hay un reordenación $\{b_{n}\}$ de la secuencia $\{a_{n}\}$ tal que $\sum_{n}b_{n}=\beta$ .

Ahora, formamos una familia de conjuntos abiertos $\{U_{n}\}$ donde $U_{n}$ es la unión de $n$ intervalos $(k,k+1)$ cada uno de los cuales corresponde a un término del $n$ -ésima suma parcial de $\sum_{n}a_{n}$ . Formamos una familia similar $\{V_{n}\}$ mirando las sumas parciales de $\sum_{n}b_{n}$ . Por ejemplo, si dejamos que $\{b_{n}\}=\{-1,1/2,1/4,-1/3,1/6,1/8,-1/5,\ldots\}$ tenemos $V_{3}=(1,2)\cup(2,3)\cup(4,5)$ mientras que desde $\{a_{n}\}=\{-1,1/2,-1/3,1/4,\ldots\}$ tenemos $U_{3}=(1,2)\cup(2,3)\cup(3,4)$ .

Si ligeramente engorde el $U_{n}$ (resp. el $V_{n}$ ) formamos cubiertas abiertas $\mathcal{U}$ (resp. $\mathcal{V}$ ) de todos los reales mayores o iguales que 1 sin añadir puntos donde $f$ en distinto de cero. Mi corazón me dice que las particiones de la unidad $\Phi$ y $\Psi$ subordinado a $\mathcal{U}$ y $\mathcal{V}$ respectivamente, será la deseada. Pero, ¡ay, estoy perdido!

¿Alguien sabe cómo demostrar que las mencionadas particiones de la unidad son las deseadas?

También son bienvenidos otros posibles enfoques de la solución.

Además de las dos entradas enlazadas anteriormente, se pueden encontrar temas relacionados con otros problemas y afirmaciones sobre la integración en el libro de Spivak ici y ici .

Answer 1

Como Spivak exige convergencia absoluta, no basta con reordenar la serie. Necesitamos un lema de "bloqueo" del tipo siguiente:

Lema. Supongamos que $\sum a_n$ es una serie condicionalmente convergente. Entonces para cada $\beta\in \mathbb R$ existe una partición $\mathbb N=\bigcup_{j=1}^\infty B_j$ donde cada conjunto $B_j$ es finita, y la serie $\sum_j \left(\sum_{n\in B_j} a_n\right)$ converge absolutamente a $\beta$ .

Asumamos el lema por ahora. Nuestra partición debe incluir los conjuntos abiertos $U_j=\bigcup_{n\in B_j}(j,j+1)$ . Sin embargo, no cubren los números enteros. Cubrir cada entero por un pequeño intervalo $(n-\epsilon,n+\epsilon)$ donde $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño como para que el intervalo no cumpla los conjuntos $A_n$ y $A_{n-1}$ . Tenga en cuenta que $f$ es idénticamente cero dentro de dichos intervalos. Para cada $n$ el conjunto $A_n$ cumple exactamente un elemento $U_j$ de nuestra cubierta abierta; por lo tanto, la función correspondiente $\varphi_j$ de una partición de la unidad será idénticamente $1$ en $A_n$ . Tenemos $\int f\varphi_j=\sum_{n\in B_j} a_n$ que da el resultado deseado. $\quad\Box$

En cuanto al lema, la demostración es la siguiente: primero, reordenar la serie para que converja condicionalmente a $\beta$ a continuación, dividir la serie reordenada $\sum a_{\sigma(k)}$ en bloques $N_i\le \sigma(k)<N_{i+1}$ , $i=1,2,3,\dots$ tal que la suma dentro del $i$ bloque es como máximo $2^{-i}$ para todos $i\ge 2$ . (Idea: cortar la cola repetidamente cuando se haga más pequeña que $2^{-i}$ .)