Obtener la posición de un punto con distancia conocida entre otros puntos

Question

Si hay $(n+1)$ puntos en $m$ espacio dimensional, y hemos conocido las distancias euclidianas de un punto " $B$ " a la otra $n$ puntos " $A_1,\ldots,A_n$ ", y conocidas las posiciones de estos $n$ puntos " $A_1,\ldots,A_n$ ", cómo podemos obtener la posición del punto " $B$ " en $m$ ¿espacio dimensional?

Entiendo que formará dos veces ecuaciones simultáneas, como el ejemplo de abajo, pero ¿cuál es un buen método matemático para resolverlo? (Supongamos que los puntos están en un espacio de mayor dimensión, donde m > 3)

*Ejemplo:
Supongamos que la posición de B es ( $X_1,\ldots,X_m$ ), y las ecuaciones de distancia con otros n puntos están abajo. Quiero resolver ( $X_1,\ldots,X_m$ )
( $X_1-2)^2+\ldots+(X_m-4)^2$ =5
( $X_1-6)^2+\ldots+(X_m-7)^2$ =9
( $X_1-9)^2+\ldots+(X_m-5)^2$ =11
... (totalmente n ecuaciones)

Answer 1

Le mostraré cómo se puede hacer para $m = 2$ .

$$\begin{align} (x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 & = d_a^2\\ (x_1 - b_1)^2 + (x_2 - b_2)^2 & = d_b^2\\ (x_1 - c_1)^2 + (x_2 - c_2)^2 & = d_c^2\\ \end{align}$$

Al multiplicar cada ecuación se obtiene esto:

$$x_1^2 - 2a_1x_1 + a_1^2 + x_2^2 - 2 a_2x_2 + a_2^2= d_a^2$$

Lo que se puede simplificar en algo parecido a esto: $$x_1^2 + k_1 x_1 + x_2^2 + k_2 x_2 = k_3$$

Pon todas las ecuaciones en esta forma, y luego resta la primera ecuación del resto. Estas transformaciones no han afectado al espacio de solución global de las ecuaciones.

$$\begin{align} x_1^2 + a_{11} x_1 + x_2^2 + a_{12} x_2 & = e_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 & = e_2\\ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 & = e_3\\ \end{align}$$

Si $a_{21}, a_{22}, a_{31}, a_{32}$ forman una matriz no singular, entonces puedes resolver el sistema lineal y tener un único punto para comprobar la primera ecuación.

La intuición es que la intersección de dos esferas de n+1 dimensiones siempre será un subconjunto de un plano de n dimensiones. Dos círculos siempre se cruzan a lo largo de una línea, y dos esferas siempre se cruzan a lo largo de un plano.