Ah, sí, un tema favorito de la mía. Básicamente, no es universalmente acordados en la manera de hacer esto. El problema es que, en general, no hay una forma única para interpolar los valores de tetration en el entero de la "altura" (que es lo que el "número de exponentes en la 'torre'" puede ser llamado). Así que en teoría, se podría definir a ser cualquier cosa.
En el caso de la exponenciación, uno tiene la utilidad de identidad $a^{n + m} = a^n a^m$, lo que permite una extensión "natural" para valores no enteros de la exponente. Es decir, usted puede ver, por ejemplo, que el $a^1 = a^{1/2 + 1/2} = (a^{1/2})^2$, a partir de la cual podemos decir que necesitamos para definir $a^{1/2} = \sqrt{a}$ si queremos que la identidad de mantener en la prolongación de la exponenciación. No hay tales identidades existen para tetration.
Usted también puede desear mirar en Qiaochu del Yuan respuesta aquí, donde explora algunos de esto desde un punto de vista de la matemática superior:
http://math.stackexchange.com/a/56710/11172
Uno podría, tal vez, comparar este problema a la cuestión de la interpolación de los factorial $n!$ a valores no enteros de $n$. Hay, en general, no de identidad simple que proporciona una extensión natural para esto, tampoco. Pero, cuando una extensión se desea, la opción habitual es usar lo que se llama la "función Gamma", que se define por
$$\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{x-1} dt$$.
A continuación, puede extender $n!$ a los no-entero$x$$x! = \Gamma(x+1)$. Sin embargo, generalmente no se utilice el $x!$ para los no-entero factoriales, sino más bien la función Gamma de notación.
Uno puede dar un teorema de unicidad que implican algunos simples condiciones analíticas; es llamada la Bohr-Mullerup teorema. Además, la función gamma tiene diversas buen número teórico y analítico de las propiedades, y se convierte en un número de diferentes áreas de las matemáticas.
Pero en el caso de tetration, no hay buen integral de las representaciones conocidas. Henryk Trappmann y algunos otros se ha demostrado recientemente un teorema que da una singularidad sencillo criterio para la inversa de tetration (con respecto a la "altura") aquí, suponiendo que la extensión no sólo a la real, pero los números complejos:
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2009uniabel.pdf
La solución que satisface la condición es que fue desarrollado por Hellmuth Kneser en la década de 1940. Yo lo llamo "Kneser del tetrational función" o simplemente "Kneser de la función". Esto desafía la simple descripción.
En este sitio:
http://math.eretrandre.org/tetrationforum/index.php
se ha registrado un algoritmo para calcular el Kneser solución (aunque no estoy seguro de si se ha demostrado) para diferentes bases de tetration. Con esta solución, la respuesta a tu pregunta sería
$$^{4/3} 3_\mathrm{Kneser} = 4.834730793026332...$$
Otras interpolaciones para tetration se han propuesto, algunos de los cuales dan resultados diferentes. Pero este es el único que parece satisfacer "agradable" propiedades como la analiticidad y tiene un simple teorema de unicidad a través de su inversa. Sin embargo, como dije al principio, yo no creo que es universalmente aceptada por la comunidad matemática de que esta es "la" respuesta.
