Intersección de 3 círculos en un triángulo equilátero dada la diferencia de sus radios

Question

Imaginemos que nos dan tres círculos que se cruzan centrados en los vértices de un triángulo equilátero de lado $1$ con $(0,0)$ colocado arbitrariamente en la esquina inferior izquierda. Los círculos tienen radios $r$ , $r+a$ y $r+b$ respectivamente (yendo de nuevo en el sentido de las agujas del reloj de forma arbitraria), donde $r$ se desconoce, pero $a$ y $b$ se dan. Para facilitar las cosas, podemos suponer que $0<a<b$ y que $a$ y $b$ son "seguros", es decir, una solución es posible. ¿Cuál es la intersección $(x,y)$ de los tres círculos (en términos de $a$ y $b$ ) dentro del triángulo?

Pido disculpas por la crudeza del diagrama, pero es lo mejor que he podido hacer con MS Paint. Además, estoy 99,9% hay una solución única, siempre y cuando restringimos nuestro conjunto de soluciones a los puntos dentro del triángulo, pero esto puede no ser el caso. Muchas gracias por cualquier ayuda.

Edición: si alguien tiene alguna idea brillante en este sentido, la solución no necesita ser exacta; una aproximación con un álgebra más agradable sería muy apreciada.

Answer 1

Esto se puede hacer, pero a menos que alguien tenga una idea brillante, el álgebra es bastante repugnante. Empieza con $$\eqalign{ x^2+y^2=r^2&\qquad\qquad(1)\cr (x-1)^2+y^2=(r+b)^2&\qquad\qquad(2)\cr (x-\tfrac12)^2+(y-\tfrac{\sqrt3}2)^2=(r+a)^2&\qquad\qquad(3)\cr}$$ Si ahora toma $(a-b)$ veces $(1)$ , menos $a$ veces $(2)$ , además $b$ veces $(3)$ Entonces, asumiendo que mi álgebra es correcta, se obtiene $$(2a-b)x-b\sqrt3\,y=(a-b)(ab+1)\ .$$ Ahora resuelve para $y$ en términos de $x$ uso $(1)$ para conseguir $r$ en términos de $x$ ; a continuación, utilizar estos y $(2)$ para obtener una ecuación en $x,a,b$ solamente. Si, de nuevo, mi álgebra es correcta (altamente improbable), terminas con la cuadrática $$(12-12b^2-16a^2+16ab-4b^2)x^2+(-12+12b^2+8(2a-b)(a-b)(ab+1))x+(3+3b^4-6b^2-4(a-b)^2(ab+1)^2)=0\ ,$$ que, con suerte, tendrá soluciones reales.

Perdón por la evasión, pero definitivamente te dejo el resto a ti :)

Answer 2

Considere un punto general $(x,y)$ dentro del triángulo, y que la distancia de $(x,y)$ de los vértices $(0,0),$ $\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right),$ y $(1,0)$ sea $r_1$ , $r_2,$ y $r_3$ respectivamente. (Es decir, cada uno de $r_1$ , $r_2,$ y $r_3$ es una función de $(x,y)$ .)

Queremos encontrar un punto $(x,y)$ tal que $r_1 = r$ , $r_2 = r+a,$ y $r_3 = r+b,$ si tal punto existe, donde $r,$ $a,$ y $b$ se dan.

Entre otras cosas, $(x,y)$ debe satisfacer la condición $r_3 - r_1 = b.$ Esta condición define una rama de una hipérbola con focos en $(0,0)$ y $(1,0)$ , eje semimayor $\frac b2,$ y excentricidad $\frac 1b.$ En coordenadas polares $(\rho,\theta)$ la ecuación de esta hipérbola es $$ \rho = \frac{\frac b2\left(\left(\frac 1b\right)^2 - 1\right)} {1+\frac 1b\cos\theta} = \frac{1 - b^2}{2(b + \cos\theta)} $$

Pero $(x,y)$ también debe satisfacer $r_2 - r_1 = a,$ lo que la sitúa en una hipérbola con focos en $(0,0)$ y $\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right),$ cuya ecuación es $$ \rho = \frac{1 - a^2}{2\left(a + \cos\left(\theta - \frac\pi3\right)\right)} $$

Dado que el punto deseado $(x,y)$ debe satisfacer $r_3 - r_1 = b$ y $r_2 - r_1 = a$ simultáneamente, tenemos $$ \frac{1 - b^2}{2(b + \cos\theta)} = \frac{1 - a^2}{2\left(a + \cos\left(\theta - \frac\pi3\right)\right)}. $$

La multiplicación cruzada, utiliza el hecho de que $\cos\left(\theta-\frac\pi3\right) = \frac{\sqrt3}2 \sin\theta + \frac12 \cos\theta,$ y recoger todo excepto el $\sin\theta$ términos juntos, y tenemos $$ \frac{\sqrt3}2(1 - b^2)\sin\theta = \left(\frac12 - a^2 + b^2\right) \cos\theta + b(1 - a^2) - a(1 - b^2).\tag1 $$

Dejemos que $u=\cos\theta$ (para que $\sin^2\theta = 1-u^2$ ); dejar $n=\frac34(1-b^2)^2,$ $m=\frac12 - a^2 + b^2,$ y $k=b(1 - a^2) - a(1 - b^2)$ ; reescribir la ecuación $1$ en esos términos; y elevar al cuadrado ambos lados. El resultado es $$ n(1-u^2) = (mu +k)^2, $$ lo que equivale a $$ (m^2 + n)u^2 + 2mku + k^2 - n = 0. $$ Resolver para $u$ mediante la fórmula cuadrática, \begin{align} u &= \frac{-2mk \pm \sqrt{4m^2k^2 - 4(m^2k^2+k^2n-m^2n-n^2)}}{2(m^2+n)} \\ &= \frac{-mk \pm \sqrt{m^2n+n^2-k^2n}}{m^2+n} \\ \end{align}

Las condiciones del problema requieren $0\leq\theta\leq\frac\pi3$ , por lo tanto $\cos\theta \geq \frac12.$ Además, $m>0$ y $k>0.$ De ello se desprende que sólo el $+$ caso del $\pm$ signo puede posiblemente conducir a una solución del problema original. Wolfram Alpha indica que $m^2n+n^2-k^2n$ es positivo cuando $0 < a < b < 1$ , por lo que no necesitamos comprobar el signo antes de sacar la raíz cuadrada.

Así que para encontrar $(x,y)$ dado $a$ y $b,$ fijamos $n,$ $m,$ y $k$ como descrito anteriormente, y luego calcular las siguientes cantidades en la secuencia indicada: \begin{align} u &= \frac{-mk + \sqrt{m^2n+n^2-k^2n}}{m^2+n}, \\ \rho &= \frac{1 - b^2}{2(b + u)}, \\ x &= \rho u, \\ y &= \rho \sqrt{1 - u^2}. \end{align}

¡Hecho!

Answer 3

Sean las coordenadas del triángulo $(0,0),(1,0),\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ . Entonces, podemos escribir tres ecuaciones de la forma

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r_0^2$$

para varios $x_0,y_0,r_0$ . ¿Qué ocurre si se supone una solución para cada una de ellas de forma concurrente y luego se resuelve para $r$ ?

Answer 4

En primer lugar, hay que tener en cuenta que (x,y) está determinada por la intersección de las circunferencias con radios r y r+b, dados los valores "seguros" asumidos, por lo que deberíamos poder expresar tanto x como y en términos de r y b solamente.

Los valores seguros son aquellos tales que:
* 2r + a > 1
* 2r + b > 1
* r + a < 1
* r + b < 1

Como se ha especificado que a < b, esta lista se puede acortar a:
* 2r + a > 1 (para que cada círculo intersecte a los otros 2 círculos)
* r + b < 1 (por lo que incluso el círculo más grande tiene puntos en el triángulo)

En primer lugar, hallamos x en términos de r y b, a partir de las ecuaciones de esas circunferencias.

Definir las coordenadas de los vértices como (0,0), $\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right)$ (1,0) para los círculos con radio r, r+a y r+b respectivamente.

Estos dan las ecuaciones:
$$\eqalign{ x^2+y^2=r^2&\qquad\qquad(1)\cr (x-1)^2+y^2=(r+b)^2&\qquad\qquad(2)\cr (x-\tfrac12)^2+(y-\tfrac{\sqrt3}2)^2=(r+a)^2&\qquad\qquad(3)\cr}$$

Utilizaremos las ecuaciones (1) y (2) para encontrar x en términos de r y x.

Expandiendo (2) obtenemos:

$$x^2 -2x + 1 + y^2 = r^2 + 2rb + b^2$$
Restando la ecuación (1) se obtiene: $$1 - 2x = 2rb +b^2$$ Resolviendo para x obtenemos: $$ x = {1-b^2 \over 2} - rb$$ Sustituyendo esto por x se obtiene:
$$ \begin{align} y^2 & = r^2 - x^2 \\ & = r^2 - \left({1-b^2 \over 2} - rb \right)^2\\ & = {(1-b^2)^2 \over 4} - (1 - b^2)rb +r^2b^2 + r^2 \\ & = {(1-b^2)^2 \over 4} - (1 - b^2)rb +r^2(1 + b^2) \\ & = {(1-b^2)^2 \over 4} + r(b^3 +b) + r^2(1 +b^2) \\ & = {(1-b^2)^2 + 4r(b^3 +b) + 4r^2(1 +b^2) \over 4} \\ y & = {\sqrt{(1-b^2)^2 + 4r(b^3 +b) + 4r^2(1 +b^2) } \over 2} \\ \end{align} $$
Así que $(x, y) = \left( {1-b^2 \over 2} - rb , {\sqrt{(1-b^2)^2 + 4r(b^3 +b) + 4r^2(1 +b^2) } \over 2}\right)$ .
Hecho.

Observaciones.

En primer lugar, sabemos que como r y b son > 0, la última expresión para $y^2$ es positivo, por lo que la raíz cuadrada da un número real para y.

En segundo lugar, afirmamos al principio que el punto (x,y) está determinado sólo por r y b. Lo demostramos mostrando (x,y) sólo en términos de r y b, sin utilizar a. Esto también implica que a está determinado por r y b.

Sustituyendo las expresiones de x e y en términos de r y b en la ecuación (3) y resolviendo para a, se puede encontrar una expresión para a en términos de r y b.