Estructura casi compleja y torsión intrínseca

Question

Dada una $2m$ -de las dimensiones de la colmena $M$ , una estructura casi compleja $J$ equivale a un $\text{GL}(m,\mathbb C)$ -estructura en $M$ .

Me pregunto por qué la torsión intrínseca del $\text{GL}(m,\mathbb C)$ -es equivalente al tensor de Nijenhuis de $J$ .

¿Puede alguien dar una sugerencia para calcular esto o una referencia con una prueba legible.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sin pretender vencer a M. G., prefiero dar una explicación elemental de lo que ocurre esencialmente, tratando de convencerte de que lo que has preguntado es realmente algo que se puede esperar.

Dejemos que $\nabla$ sea una conexión que preserve el campo de endomorfismos $J$ es decir. $\nabla_XJY = J\nabla_XY$ y $T$ sea su torsión. Si cambiamos la conexión, si se diferenciaría por un vector valorado 2-tensor $A$ Satisfaciendo a $A(X,JY) = JA(X,Y)$ . La torsión $T'$ de la conexión modificada $\nabla'$ vendría dado por $T'(X,Y) = T(X,Y) + A(X,Y) - A(Y,X)$ .

Supongamos que queremos llegar a una expresión en términos de torsión, que sea invariante con respecto a la adición de un $J$ -lineal en su segundo tensor de entrada $A$ a la conexión. Es necesario encontrar una relación no trivial satisfecha por el vector simétrico sesgado valorado como 2-tensor $$\alpha(X,Y) = A(X,Y) - A(Y,X),$$ lo que daría lugar a una expresión en términos de torsión en función del campo $J$ solo. Esto es sencillo:

$$\alpha(X,Y) = A(X,Y) - A(Y,X) = -JA(X,JY) + JA(Y,JX) = \\ = -J(\alpha(X,JY) + A(JY,X) - \alpha(Y,JX)-A(JX,Y)) = \\ = -J(\alpha(X,JY) + \alpha(JX,Y)) + A(JX,JY) - A(JY,JX) =\\ = -J(\alpha(X,JY) + \alpha(JX,Y)) + \alpha(JX,JY).$$

Por lo tanto, el tensor $\alpha$ satisface la fórmula $$\alpha(X,Y) + J\alpha(X,JY) + J\alpha(JX,Y) - \alpha(JX,JY) = 0,$$

y la expresión correspondiente que implica la torsión

$$\nu(X,Y) = T(X,Y) + JT(X,JY) + JT(JX,Y) - T(JX,JY)$$

es independiente de la elección de la conexión.

Escribamos el tensor $\nu$ en cuanto a la conexión.

$$\nu(X,Y) = \nabla_XY - \nabla_YX - [X,Y] + \\ + J\nabla_XJY - J\nabla_{JY}X - J[X,JY] + \\ + J\nabla_{JX}Y - J\nabla_YJX - J[JX,Y] - \\ - \nabla_{JX}JY + \nabla_{JY}JX + [JX,JY].$$

Los términos de conexión se cancelan como $\nabla_XY+J\nabla_XJY = 0$ , $J\nabla_{JX}Y - \nabla_{JX}JY = 0$ , $-\nabla_YX - J\nabla_YJX = 0$ y $-J\nabla_{JY}X + \nabla_{JY}JX = 0$ . Lo que descansa es $$\nu(X,Y) = [JX,JY] - J[X,JY] - J[JX,Y] - [X,Y],$$ es decir $\nu$ es el tensor de Nijenhuis.

Answer 2

El $G$ -consiste en todas las cofradías (o equivalentemente, tramas) por formas lineales complejas 1, es decir, sus secciones locales son cofradías $\omega^1,\dots,\omega^n$ que se compone de un conjunto de elementos definidos localmente $\mathbb{C}$ -independientes linealmente $(1,0)$ -formas. La torsión de la $G$ -(como para cualquier $G$ -) se expresa mediante las ecuaciones estructurales de Cartan $d\omega+\gamma\wedge\omega=T\omega\wedge\omega$ donde permitimos cualquier $\mathfrak{g}$ -de la forma 1 $\gamma$ aquí (la pseudoconexión). La torsión intrínseca es la parte que no se puede absorber por la elección de $\gamma$ . Así que en nuestro caso $G=GL(n,\mathbb{C})$ y podemos absorber cualquier múltiplo complejo de la forma 1 del $\omega^a$ en la elección de $\gamma$ es decir $d\omega^a+\gamma^a_b \wedge \omega^b = \frac{1}{2}T^a_{\bar{b}\bar{c}} \omega^{\bar{b}}\wedge \omega^{\bar{c}}$ . Un cálculo largo, utilizando los campos vectoriales $X_a$ doble a la $\omega^a$ revela que $T^a_{\bar{b}\bar{c}}\omega^{\bar{b}}\wedge\omega^{\bar{c}}X_a$ es el negativo del tensor de Nijenhuis.