Consideremos un subespacio $M$ de un espacio vectorial complejo normado $(X,\|\cdot\|)$ , $p:X\to\mathbb{R}$ sublineal y $f:M\to\mathbb{C}$ lineal tal que $|f(x)|\le p(x)$ $\forall x\in M$ . Queremos demostrar que existe $\Lambda:X\to\mathbb{C}$ tal que $\Lambda|_{M}=f$ y $|\Lambda(x)|\le p(x)$ $\forall x\in X$ .
Escriba $$f(x)=\Re f(x)+i\Im f(x)\qquad\text{for }x\in M$$ Desde $f(ix)=if(x)$ vemos que $$\Re f(ix)+i\Im f(ix)=i\Im f(x)+i\Re f(x)$$ Así, $\Im f(x)=-\Re f(x)$ . Por lo tanto, $$f(x)=\Re f(x)-i\Re f(ix)$$
$\Re f:X\to\mathbb{R}$ es una función lineal real continua sobre $X$ Así que quiero aplicarle el teorema (real) de Hahn-Banach. Sin embargo, estoy teniendo problemas para acotar $\Re f(x)$ por $p(x)$ .
