Las raíces de $\Phi_{10}(x)=1-x+x^2-x^3+x^4$ son las décimas raíces primitivas de la unidad, $\xi,\xi^3,\xi^7,\xi^9$ con $\xi=\exp\left(\frac{2\pi i}{10}\right)$ . Las raíces de $\Phi_{20}(x)=\Phi_{10}(x^2)=1-x^2+x^4-x^6+x^8$ son los primitivos $20$ -Raíces de la unidad, $\zeta,\zeta^3,\zeta^7,\zeta^9,\zeta^{11},\zeta^{13},\zeta^{17},\zeta^{19}$ con $\zeta=\exp\left(\frac{\pi i}{10}\right)$ . Al dividir $\Phi_{20}(x)$ por $x^4$ y escribiendo lo que obtenemos como un polinomio en $\left(x+\frac{1}{x}\right)$ conseguimos que
$$ x^4-\frac{5}{4}x^2+\frac{5}{16}=\prod_{k\in\{1,3,7,9\}}\left(x-\cos\frac{\pi k}{10}\right)$$ y evaluando ambos lados en $x=-1$ nos encontramos con que: $$ \prod_{k\in\{1,3,7,9\}}\left(1+\cos\frac{\pi k}{10}\right) = 1-\frac{5}{4}+\frac{5}{16} = \frac{1}{16}.$$
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