Expandir un conjunto linealmente independiente a una base

Question

Me dan un conjunto $V = \{ x_1,x_2\}$ de vectores, donde $$x_1=(1,3,1,1), \qquad x_2=(3,1,2,1),$$ y tengo que extenderlo a una base de $\mathbb{R}^4$ .

¿Hay algún algoritmo en particular para hacerlo? ¿Tengo que elegir dos vectores cualesquiera de $R_4 $ comprobar si son linealmente independientes y sumarlos, o tengo que comprobar si $V $ abarca $\mathbb{R}^4$ y si no, tomar cualquier vector linealmente independiente de $\mathbb{R}^4 \setminus V$ ?

¿Cuál es la forma más fácil de encontrar ese vector linealmente independiente?

Answer 1

Dado un conjunto ordenado y linealmente independiente $S := (s_1, \ldots, s_k)$ de vectores en un espacio vectorial de dimensión finita $\Bbb V$ siempre se puede ampliar $S$ a una base de $\Bbb V$ fijando cualquier base $(v_1, \ldots, v_n)$ de $\Bbb V$ formando el conjunto ordenado $(s_1, \ldots, s_k, v_1, \ldots, v_n)$ . Entonces, para cada $i \in \{1, \ldots, n\}$ (en orden), eliminar $v_i$ del conjunto ordenado si $v_i$ está en el ámbito de todos los elementos anteriores del conjunto. En particular, una vez que hemos comprobado y mantenido $n - k$ de la $v_i$ podemos descartar el resto $v_i$ , dejando una base $$(s_1, \ldots, s_k, v_{i_1}, \ldots, v_{i_{n - k}})$$ que se extiende $S$ .

Si $\Bbb V = \Bbb R^n$ es computacionalmente conveniente tomar la base estándar $(e_a)$ de $\Bbb R^n$ . Si hacemos eso en nuestro ejemplo, producimos la base $(x_1, x_2, e_1, e_2)$ .

Answer 2

Supongo que la forma más fácil de expandir estos vectores a una base sería comprobar qué dos vectores base son linealmente independientes con los dos que ya tienes, y sumarlos.

Por definición de la dimensión de dicho espacio vectorial, cuatro vectores linealmente independientes abarcan un espacio de cuatro dimensiones, así que ya está.

Answer 3

Creo que los dos métodos que has mencionado son bastante buenos. Una forma sistemática de comprobar la independencia lineal es utilizar la ortogonalización de Gram-Smidt. Ortogonaliza dos vectores dados y elige un tercer y cuarto vector (aleatorio). Si la ortogonalización de Gram-Schmidt no se detiene en el vector nulo, entonces estos cuatro vectores son una base de la $\mathbb{R}^4$ . Si la ortogonalización se detiene en un vector nulo, hay que cambiar los vectores elegidos.

Answer 4

Asegúrate de que los vectores dados son linealmente independientes (este es tu caso), ahora toma los dos vectores y cambia una componente de cada uno de ellos ( no la misma) por $0$ . En su caso podemos hacerlo: $$ (1,3,1,1) \to (1,0,1,1) \qquad (3,1,2,1) \to (0,1,2,1) $$ Los dos nuevos vectores son linealmente independientes de los dos primeros.

Answer 5

Primer método: Formar la matriz $A$ con los vectores dados como columnas. Reducir filas sin pivotes. Suma los vectores elementales correspondientes a las filas de ceros (las filas sin pivotes).

Segundo método: Añadir una base de $NullSp(A^T) = (CollSp(A))^{\bot}$