La superposición en la mecánica cuántica

Question

En primer lugar, dejemos que $V$ sea un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{F}$ . Es posible entonces demostrar, por el Lemma de Zorn que hay una base para $V$ . El punto principal es que aunque las bases son bastante convenientes y su existencia es algo que ayuda mucho en el Álgebra Lineal, un elemento $v\in V$ existe y tiene un significado independiente de cualquier base.

En realidad, introducir una base es sólo un medio para expresar cada $v\in V$ de forma única como combinación lineal de un determinado conjunto de vectores. Esto produce una representación de $v$ pero $v$ es independiente de la representación, ya que dadas dos bases podemos trabajar con cualquiera de ellas y pasar de una a otra.

Ahora bien, en la Mecánica Cuántica si dejamos que $\mathcal{H}$ sea el espacio de Hilbert que describe el sistema y sea $\left|\psi\right\rangle\in \mathcal{H}$ a veces podemos expresar $\left|\psi\right\rangle $ en una serie de bases diferentes de la misma manera que dije anteriormente, ya que $\mathcal{H}$ es un espacio vectorial topológico.

En otras palabras, podemos expresar un estado de forma única como superposición de ciertos estados.

Ahora, mi punto es el siguiente: Ya he visto a gente hablando de esto diciendo que cuando escribimos $\left|\psi\right\rangle$ como la superposición

$$\left|\psi\right\rangle = \sum_{n=1}^{\infty}c_n \left|u_n\right\rangle$$

entonces una partícula en el estado $\left|\psi\right\rangle$ está simultáneamente en todos los estados $\left|u_n\right\rangle$ . Creo que este es también el punto del gato de Schrödinger.

Ahora, esto es algo que realmente me molesta. Porque cuando escribimos tal descomposición estamos simplemente expresando $\left|\psi\right\rangle$ de una manera determinada que puede ser conveniente. El vector $\left|\psi\right\rangle$ es sencillamente ella misma, independientemente de cualquier base. Es más, podemos escribirlo en cualquier otra base que nos parezca conveniente. En ese contexto, para mí una base es mucho más una forma conveniente de representar un vector que una parte esencial de lo que es el vector.

En este contexto, ¿qué hay detrás de esta idea de superposición en la mecánica cuántica? ¿Por qué la gente a veces dice ese tipo de cosas, que la partícula en el estado $\left|\psi\right\rangle$ está simultáneamente en todos los estados $\left|u_n\right\rangle$ ? ¿Esto tiene algún sentido, teniendo en cuenta mi punto?

Answer 1

Tuve los mismos problemas conceptuales que tú cuando estudiaba QM. Permíteme pulverizar un poco de filosofía que me permitió finalmente avanzar y concentrarme en las cosas matemáticas que realmente importan :)

Los estados cuánticos son rayos en el espacio de Hilbert (o puntos en el espacio proyectivo de Hilbert, etc.). Todos los estados tienen el mismo significado físico: todos existen y ninguno de ellos es especial en ningún sentido.

La información observable se codifica en la estructura del producto de Hilbert definida en el espacio de estados. De hecho, la única pregunta razonable que se puede hacer sobre un determinado sistema cuántico es de la siguiente forma:

¿Qué es la clash (módulo-cuadrado del producto interior) $\left|\left<a|b\right>\right|^2$ de dos estados dados $\left|a\right>$ y $\left|b\right>$ ¿Igual?

Pero los estados son bestias bastante abstractas, y sin una forma precisa en la que podamos identificar los estados con experiencias reales (o configuraciones experimentales, etc.) no habrá ningún significado en ninguno de esos cálculos.

Aquí es donde entran los observables, que en QM están codificados por operadores autoadjuntos. A cada uno de estos operadores podemos asignar un espectro de valores propios y estados propios.

Voy a utilizar la imagen de Heisenberg aquí, por lo que estos operadores cambian con el tiempo. Por lo tanto, un operador en el tiempo $t _1$ es no es lo mismo como un operador correspondiente a la misma cantidad en el tiempo $t _2 > t _1$ .

Entonces podemos hacer una pregunta física, que es:

Sé con certeza que mi partícula tenía coordenadas $x = x_1$ en el momento $t = t _1$ . En QM significa que sé con seguridad que el sistema está en tal estado $\left|a\right>$ que es un estado propio del operador de posición en el tiempo $t _1$ con el valor propio correspondiente: $$ \hat{x}(t _1) \left| a \right> = x _1 \left| a \right>. $$ ¿Qué resultados posibles podría experimentar al medir la posición de la partícula en el tiempo $t _2$ ?

Y la QM tiene una elegante respuesta a esta pregunta. Dado que el sistema está en el estado $\left| a \right>$ que en general es no un estado propio del nuevo operador de posición $x (t _2)$ Debo ampliarlo en términos de tales estados propios:

$$ \left| a \right> = \sum_{x_2} c_{x_2} \left| x _2 \right>. $$

Si los estados están debidamente normalizados (recordemos que los estados reales son rayos en lugar de vectores en el espacio de Hilbert), los choques vienen dados por el módulo-cuadrado de los coeficientes correspondientes:

$$ \left| \left< a | x _2 \right> \right|^2 = \left| c _{x_2} \right|^2. $$

Algunas personas tienen la tentación de buscar un significado más metafísico a este choque. Según la regla de Born (que no tiene nada que ver con Jason Bourne, por cierto), podríamos interpretar este choque como una probabilidad de experimentar el estado $\left| b \right>$ en alguna medida próxima dado que partimos de $\left| a \right>$ .

Resumiendo: todos los estados juegan el mismo papel en QM, que es: simplemente existen. Pero, en última instancia, nos interesa la forma de etiquetar los estados (si no, ¿cómo podríamos distinguirlos y atribuirles un significado físico?). Esto se hace a través de los estados propios de los operadores autoadjuntos.

Pero los operadores evolucionan con el tiempo. Por lo tanto, si, por ejemplo, tenemos un estado que es un estado propio de algún operador en el tiempo $t _1$ es una superposición de (diferentes) estados propios de (diferentes) operadores correspondientes a la misma cantidad pero en el tiempo $t _2$ .

Las expansiones de estados sobre la base se realizan cuando estamos midiendo alguna cantidad. Esta base no es en absoluto arbitraria y está formada por los estados propios del operador autoadjunto correspondiente a esta cantidad.

Answer 2

Esto da una formulación un poco más general de la respuesta de Hindsight. La interpretación más directa de las superposiciones en la mecánica cuántica suele darse en el contexto de ortogonal bases, que ya implican más estructura que las bases de Hamel mencionadas en los comentarios. Para simplificar las cosas, supongamos una base contable $\{ | u_n \rangle \}_n $ como tú, y exigir además que sea ortonormal, $\langle u_n | u_m \rangle = \delta_{nm}$ . Además, deja que $\hat{ O }$ sea algún observable que tenga la $| u_n \rangle$ -s como estados propios, tal que sus valores propios son $\langle u_n | \hat{ O } | u_n \rangle$ . La descomposición de un normalizado estado $| \psi \rangle$ como una superposición (única)

$$ | \psi \rangle = \sum_{n} {c_n | u_n \rangle} $$

con $c_n$ números complejos, significa que una medida de $\hat{ O }$ en $| \psi \rangle$ producirá un valor de salida $\langle u_n | \hat{ O } | u_n \rangle$ y un estado de salida $| u_n \rangle$ con una amplitud $c_n$ y una probabilidad $|c_n|^2$ . Por ello se dice en general que el coeficiente $c_n$ es la amplitud del estado $| u_n \rangle$ en el estado $| \psi \rangle $ y que existe una probabilidad finita $|c_n|^2$ para medir el estado $| u_n \rangle$ en el estado $| \psi \rangle $ .

El concepto se extiende entonces a amplitudes arbitrarias $\langle \phi | \psi \rangle$ para los estados normalizados $| \phi \rangle $ ya que dado cualquier $| \phi \rangle $ siempre es posible construir una base ortogonal que la contenga.