¿Cómo puedo demostrar que se trata de un subespacio?

Question

"Determinar si el conjunto $H$ de todas las matrices de la forma $ \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \\ \end{array} \right] $ es un subespacio de $M_{2\times2}$ ."

Y se me da,

Un subespacio de un espacio vectorial es un subconjunto $H$ de $V$ que tiene tres propiedades:

a. El vector cero está en $H$ .

b. $H$ es cerrado bajo la adición de vectores. Es decir, para cada $u$ y $v$ en $H$ la suma $ u + v$ está en $H$ .

c. $H$ es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Es decir, para cada $u$ en $H$ y cada escalar $c$ el vector $cu$ está en $H$ .

¿Cómo puedo mostrar estas operaciones en esta matriz? ¿Debo dividir esta matriz en tres vectores? No estoy seguro de cómo hacerlo.

Esta fue la solución dada:

El conjunto H es un subespacio de M2×2. La matriz cero está en H, la suma de dos matrices triangulares superiores es triangular superior, y un múltiplo escalar de una matriz triangular superior es triangular superior.

Answer 1

Bueno, vamos a comprobarlo:

a. $$0\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right]$$ Sí $\checkmark$

b.

$$\left[ \begin{array}{cc} a_0 & b_0 \\ 0 & d_0 \\ \end{array} \right]+\left[ \begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ 0 & d_1 \\ \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{cc} a_0 + a_1 & b_0 + b_1 \\ 0 & d_0 + d_1 \\ \end{array} \right]$$
Roger dodger $\checkmark$

c. $$c\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \\ \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{cc} ca & cb \\ 0 & cd \\ \end{array} \right]$$

Se ve bien $\checkmark$

El conjunto de matrices de esta forma se califica como subespacio según la definición dada.

Answer 2

El espacio vectorial subyacente ( $V$ ) es el espacio de $2\times 2$ matrices $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ . El $0$ vector según esto (un vector $x$ tal que $\forall v \in V, x + v = v$ ) es simplemente la matriz cero $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ .

El conjunto $H$ es el conjunto de todos los $2\times 2$ matrices con el $(2,1)$ entrada ( o $c$ ) a cero. Ahora simplemente ejecute con la definición.

a) $0 \in H$ , como $0_{21}=0$ para la matriz cero

b) $u, v \in H \implies u_{21} = v_{21} = 0 \implies (u+v)_{21} = 0 \implies u+v \in H$ .

c) $u \in H \implies u_{21} = 0 \implies c\cdot u_{21} = 0 \implies (cu)_{21} = 0 \implies cu \in H$ $\forall c \in \mathbb{C}$

Así, $H$ es un espacio vectorial que es un subconjunto de $V$ por lo tanto, un subespacio de $V$ .