Encontrar el rango para $\frac{1}{\exp(x^2)+3}$

Question

¿Cuál es la gama de $$\large\frac{1}{e^{x^2}+3}$$

Sé que la respuesta es $\dfrac{1}{4}\ge h(x)\gt0$ Pero, ¿cómo lo muestro?

Answer 1

Si sabes calcular, hay un teorema que puede ayudarte.

Dejemos que $f$ sea una función real diferenciable (a trozos) con $D_xf$ su derivado WRT $x$ .

Si $f$ tiene un máximo o un mínimo en $a$ entonces $D_xf(a)= 0$ o $D_xf(a)$ no existe.

Sólo hay un punto en el que $D_xf$ se califica, pero es una condición necesaria pero no suficiente (busque en Google las condiciones necesarias y suficientes si esas frases no le resultan familiares).

Es necesario comprobar $f(a - \epsilon)$ y $f(a + \epsilon)$ para un pequeño número real positivo $\epsilon$ para ver si es un máximo, un mínimo o ninguno. Si esos dos números son menores que $f(a)$ , tienes tu máximo.

Eso demuestra $h(x) \le 1/4$ . También demuestra que $h$ no tiene otros mínimos o máximos. ¿Puedes pensar en una manera de demostrar que $h(x) > 0$ ?

Una vez que demuestre que $0 < h(x) \le 1/4$ Hay un teorema llamado teorema del valor intermedio que puede ayudarte. El IVT te dirá que si $h$ es continua (lo es) entonces $h$ adoptará todos los valores intermedios $0$ y $1/4$ .

Answer 2

• $x^2$ tiene una gama de $[0,\infty)$ .
• Así que $e^{x^2}$ tiene una gama de $[1,\infty)$
  (sabiendo que $\exp$ es creciente nos lo dice).
• Así que $e^{x^2}+3$ tiene una gama de $[4,\infty)$ .
• Así que $\frac{1}{e^{x^2}+3}$ tiene una gama de $(0,1/4]$
  (sabiendo que la función recíproca es decreciente y continua en $[4,\infty)$ nos dice esto).

Answer 3

$e^{x^2}\geq1 $ para $x\geq0$ . Así que, $e^{x^2} + 3 \geq 4$ . Si $y \geq4 $ entonces $1/y \leq 1/4$ .