Una cosa por la que he sentido cierta curiosidad es el cálculo de la desviación geodésica por efecto de las mareas. En concreto, dado el vector de separación $\xi^a$ entre dos geodésicas cercanas de tipo temporal y $V^c$ los campos vectoriales de velocidad tangentes a las geodésicas, tenemos \begin{equation} \frac{D\xi^a}{d\tau^2} = R^{a}_{\,\,bcd}V^bV^c\xi^d\,. \end{equation} Supongamos que tengo una métrica estática con simetría esférica dada por la métrica de Schwarzschild, que sólo depende de la coordenada radial $r$ . El primer paso para calcular la fuerza de marea, como es sabido, parece ser la simplificación de esta expresión. Por ejemplo, si deseo saber cómo convergen las geodésicas cuando dos partículas se colocan una al lado de la otra a lo largo de $\phi$ dirección, espero que a lo largo de esta dirección las partículas se acerquen, como esperamos de la naturaleza radial de la gravedad.
Sin embargo, para hacer esto explícitamente, ingenuamente lo que haría es calcular para $\xi^\theta$ y, en particular, elijo $\xi^a$ de manera que inicialmente sólo $\xi^\phi$ es distinto de cero. Entonces, si se escoge $V^c$ de manera que las partículas estén inicialmente en reposo; esto llevaría a (?) \begin{equation} \frac{D\xi^\phi}{d\tau^2} = R^{\phi}_{\,\,tt\phi}\xi^\phi\,. \end{equation} Este es el problema: para la geometría de Schwarzschild, se puede demostrar que $R^{\phi}_{\,\,tt\phi}$ se desvanece en el horizonte del agujero negro. Por tanto, ésta no puede ser la expresión correcta de la fuerza de marea, ya que debería ser distinta de cero.
Curiosamente, la repetición de estos cálculos para los límites de campo débil (o el límite de distancia de los agujeros negros de Schwarzschild) sí da el resultado correcto $r^{-3}$ porque los términos de orden superior se pueden despreciar, y esta expresión parece dar una fuerza de marea razonable si estoy a cierta distancia del horizonte (digamos, $2r_H$ ). Esto es cierto también para el escenario de la "esfagtización", en el que en cambio uno está interesado en el escenario radial; de nuevo, el mismo método (pero ahora con una componente diferente del tensor de Riemann) también conduce a la desaparición de la fuerza de marea en el horizonte pero bueno en campo débil o a cierta distancia del horizonte. El problema surge porque la componente del tensor de Riemann anterior también tiene una contribución del orden de $M^2/r^4$ lo que anula claramente la contribución habitual de las "mareas" en $r=r_H$ . ¿Qué está pasando aquí?
Estoy al tanto de los métodos de cálculo que utilizan tétradas, pero estoy tratando de ceñir esto a la RG elemental tanto como pueda.
Nota: la marca (?) pretendía mostrar que una expresión similar parece aparecer si Utilizo el formalismo de la tétrada, y es posible que me esté perdiendo algo, pero no puedo decir por qué en este momento.
Actualización : Creo que he encontrado la solución (gracias al comentario de @A.V.S), pero por razones personales, escribiré la solución yo mismo en algún momento de abril.
