La derivación de Landau de la energía cinética de una partícula libre - ¿expansión de una función?

Question

El otro día estaba leyendo un poco de la Mecánica de Landau y Lifshitz y me encontré con la siguiente parte, en la que los autores van a derivar la energía cinética de una partícula libre. Utilizan el hecho de que la Lagrangiana de esta partícula debe ser la misma (o como mucho, diferir por la derivada temporal total de una función de coordenadas y tiempo) en diferentes marcos inerciales.

Tenemos $L'=L(v'^2)=L(v^2+2\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\epsilon}+\boldsymbol{\epsilon}^2)$ . Expandiendo esta expresión en potencias de $\boldsymbol{\epsilon}$ y despreciando los términos por encima del primer orden, obtenemos $$L(v'^2)=L(v^2)+\frac{\partial L(v^2)}{\partial (v^2)}2\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\epsilon}.$$

Creo que estoy de acuerdo con toda la física de esta sección. Lo que no entiendo es la parte que he citado arriba (así que tal vez este post es más adecuado para el sitio de matemáticas, pero ya que este libro es tan físico pensé en publicarlo aquí). Mis matemáticas están bastante oxidadas, así que no estoy muy seguro: ¿cómo expanden los autores la función para llegar a la expresión anterior? Me recuerda un poco a una expansión de Taylor, pero no mucho. ¿Cuál es el proceso utilizado para llegar a ella?

Answer 1

Es una expansión de Taylor. Puedes estar un poco asustado porque están tratando $L$ en función de $v^2$ pero eso no importa, considera

$$L(x + \delta) \sim L(x) + \frac{\partial L}{\partial x} \delta + O(\delta^2)$$

pero toma $x=v^2$ y $\delta = 2 \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + \epsilon^2$ ,

$$\begin{align*} L(v'^2) &= L( v^2 + 2 \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + \epsilon^2) \\ &\sim L(v^2) + \frac{\partial L}{\partial v^2} ( 2 \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + \epsilon^2) + O(\epsilon^2) \\ &\sim L(v^2) + \frac{\partial L}{\partial v^2} 2 \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + O(\epsilon^2) \end{align*}$$

Podemos dejar el otro $\epsilon^2 \frac{\partial L}{\partial v^2}$ ya que sólo nos interesan los términos de primer orden.

Ampliación de Taylor en general

Si es la expansión de taylor con la que estás teniendo problemas, eso es bastante fácil de mostrar también. Considere $f(x + \epsilon)$ con $\epsilon$ pequeño, podríamos querer expresar el valor de $f(x + \epsilon)$ como una serie de potencias en $\epsilon$ Así que buscamos algo de la forma

$$f(x + \epsilon) = a_0 + a_1 \epsilon + a_2 \epsilon^2 + \cdots$$

Cómo determinamos los coeficientes, pues podemos encontrar $a_0$ tomando el límite como $\epsilon \to 0$ , obteniendo $$f(x) = a_0$$

Genial, pero ¿cómo podríamos conseguir el $a_1$ ¿Coeficiente? Pues bien, basta con tomar una derivada de ambos lados

$$f'(x + \epsilon) = a_1 + 2 a_2 \epsilon + \cdots$$

y simplemente tomar el límite de nuevo, obteniendo $$f'(x) = a_1$$

Haciendo ese proceso una vez más se obtiene $$f''(x) = 2 a_2$$

Así que, hasta ahora tenemos

$$f(x + \epsilon) = f(x) + f'(x) \epsilon + \frac 12 f''(x) \epsilon^2 + \cdots$$

Si piensa en general, debería poder convencerse de que en general, para el $n$ de la legislatura, tendremos

$$f^{(n)}(x) = n! a_n$$

dándonos el resultado general de la serie de Taylor

$$f(x + \epsilon) = \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{n!} f^{(n)}(x) \epsilon^n$$