Lanzar un proyectil en el espacio 2D

Question

Normalmente soy fuerte en matemáticas, pero aquí tengo una pregunta de matemáticas que después de pasar 5 páginas, no puedo resolver. Aquí va:

Una persona está jugando a un juego que requiere lanzar un objeto a una cornisa. La cornisa está a una distancia $d$ y una altura $\frac{d}{2}$ por encima del punto de liberación. Puede ignorar la resistencia del aire. Puede utilizar $g$ para la magnitud de la aceleración gravitacional (es decir $g=9.81 \text{m}/\text{s}$ ).

(a) ¿Con qué ángulo debe la persona lanzar el objeto y con qué magnitud de la velocidad para que el objeto esté exactamente en la cima de su vuelo cuando llegue a la cornisa? Expresa tu respuesta para la velocidad en términos de las cantidades dadas $d$ y $g$ según sea necesario. Para el ángulo, introduzca la respuesta numérica en grados.

En resumen, necesito dar una fórmula de la velocidad del objeto a $t=0$ y escribir esta fórmula en términos de $d$ y $g$ , solamente. También debo proporcionar un único ángulo numérico, que aparentemente es un número estático.

Ayuda...

Answer 1

Se puede dividir en componentes horizontales y verticales.

Haz primero la vertical, porque contiene la restricción. La componente vertical inicial de la velocidad es $v_0\sin\theta_0$ midiendo hacia arriba como positivo y la velocidad vertical en el momento $t$ es por lo tanto $v_v(t)=v_0\sin\theta_0-gt$ .

La roca aterriza en la cornisa cuando $v_v(t)=0$ que es cuando $t=\frac {v_0}g\sin \theta_0$ .

Ahora ya sabes el tiempo que has tardado. La distancia vertical recorrida es $$\frac d2=v_0t\sin \theta_0-\frac 12gt^2=\frac {v_0^2}g\sin^2\theta_0-\frac 12 \frac {v_0^2}g \sin^2\theta_0=\frac 12 \frac {v_0^2}g \sin^2\theta_0$$ Otra forma de obtener el mismo resultado más rápidamente es igualar en energía cinética inicial con la energía potencial final (tomando la componente vertical, ya que la componente horizontal no cambia).

Entonces, horizontalmente tenemos $d=v_0t \cos \theta_0=\frac {v_0^2}g\cos \theta_0\sin\theta_0$ - Aunque podríamos haber ahorrado tiempo en la componente vertical utilizando la ecuación de la energía, todavía tenemos que calcular el tiempo que se tarda en introducir la ecuación horizontal.

Las dos expresiones para $d$ son suficientes para encontrar $\theta_0$ y luego esto puede ser retroalimentado para encontrar $v_0$ .