Teorema de Bayes en probabilidad

Question

Una prueba de partículas nocivas para las casas es correcta 2/3 de las veces si las partículas están presentes, y correcta 4/5 de las veces si las partículas están ausentes. La proporción de casas con partículas nocivas es de 1/6. Si Si se analiza una casa al azar y el resultado es negativo, ¿cuál es la probabilidad de que las partículas estén ausentes?

A -> La partícula está ausente B -> La prueba es negativa

P(A|B) = ?

Obtengo P(B'|A') = 2/3 , --> P(B|A) = 1 - 2/3 = 1/3, P(B'|A) = 4/5 , P(A') = 1/6

La respuesta es 12/13. No entiendo en qué se equivocan mis suposiciones.

Answer 1

Para simplificar el cálculo he puesto $\frac{1}{6}=\frac{3}{18}$

$\mathbb{P}[ A \cap B]=\frac{4}{5}\frac{15}{18}=\frac{12}{18}$

$\mathbb{P}[B]=\frac{1}{3}\frac{3}{18}+\frac{4}{5}\frac{15}{18}=\frac{13}{18}$

haciendo la proporción se obtiene la solución: $\mathbb{P}[A|B]=\frac{12}{13}$

Más explicaciones:

$\mathbb{P}[ A \cap B]$ es la probabilidad de obtener "Prueba negativa y sin partículas nocivas" (¡es una prueba correcta!)

$\mathbb{P}[B]$ es la probabilidad de obtener un Test Negativo: tenemos 2 casos a sumar

• Prueba negativa y partícula nociva (prueba incorrecta)
• Prueba negativa y sin partículas nocivas (prueba correcta)