Determinar el centro del anillo de operadores diferenciales con coeficientes en $\mathbb{C}[z_1,z_2]$

Question

Mi objetivo es determinar cuál es el centro de un anillo $R$ generados por los operadores diferenciales $z_i \frac{\partial}{\partial z_j}$ para $i,j \in \{1,2\}$ con coeficientes en el anillo polinómico $\mathbb{C}[z_1,z_2].$

Primero escribo la definición de $R$ $$ R=\{p_1z_1\frac{\partial}{\partial z_2}+p_2z_2\frac{\partial}{\partial z_1}+p_3z_1\frac{\partial}{\partial z_2}+p_4z_2\frac{\partial}{\partial z_2}: p_i \in \mathbb{C}[z_1,z_2] \} .$$ ¿Es esto correcto? Ahora usando la definición de centro $$Z(R):=\{x\in R: xr=rx, \ \forall r\in R\}$$ Intenté determinar $Z(R)$ puramente por la manipulación algebraica como a continuación, pero esto parecía muy desordenado $$\Bigg(p_1z_1\frac{\partial}{\partial z_2}+p_2z_2\frac{\partial}{\partial z_1}+p_3z_1\frac{\partial}{\partial z_2}+p_4z_2\frac{\partial}{\partial z_2}\Bigg)\Bigg(q_1z_1\frac{\partial}{\partial z_2}+q_2z_2\frac{\partial}{\partial z_1}+q_3z_1\frac{\partial}{\partial z_2}+q_4z_2\frac{\partial}{\partial z_2}\Bigg)=\Bigg(q_1z_1\frac{\partial}{\partial z_2}+q_2z_2\frac{\partial}{\partial z_1}+q_3z_1\frac{\partial}{\partial z_2}+q_4z_2\frac{\partial}{\partial z_2}\Bigg)\Bigg(p_1z_1\frac{\partial}{\partial z_2}+p_2z_2\frac{\partial}{\partial z_1}+p_3z_1\frac{\partial}{\partial z_2}+p_4z_2\frac{\partial}{\partial z_2}\Bigg)$$ donde $p_i \in \mathbb{C}[z_1,z_2]$ son fijos y $q_i \in \mathbb{C}[z_1,z_2]$ son arbitrarios.

¿Existe alguna forma de hacerlo?

Answer 1

Estás viendo el álgebra de Weyl $W_2$ que es la subálgebra de los endomorfismos de $\Bbb C[z_1,z_2]$ generado por $\partial_1,\partial_2,z_1,z_2$ donde el $z_i$ actúan sobre los polinomios por multiplicación y el $\partial_i$ por diferenciación. Tenemos $[z_i,z_j]=[\partial_i,\partial_j]=0$ y $[\partial_i,z_j]=\delta_{ij}$ . Aquí $[x,y]=xy-yx$ Así que $[x,y]=0$ si $x,y$ de viaje al trabajo. Aprovecharemos el hecho de que $W_1$ admite un base para mostrar que tiene centro $\Bbb C$ . Espero que mi idea le ayude a generalizar esto para $W_2$ .

Se puede demostrar que $W_1$ es central, es decir $Z(W_1)=\Bbb C$ Los elementos $z_1^i\partial_1^j$ formar un base $^1$ de $W_1$ como $\Bbb C$ -y, por lo tanto, escoge un elemento $p=\sum a_{ij}z_1^i\partial_1^j=\sum p_j(z_1)\partial_1^j$ .

Por la observación anterior $p$ es central si conmuta con $z_1$ y $\partial_1$ ya que una base es en particular un conjunto de generadores.

Puede comprobar que $[\partial_1^j,z_1]=j \partial_1^{j-1}$ y $[\partial_1,z_1^j]=jz_1^{j-1}$ proporcionó $j>0$ . Desde $[-,-]$ es lineal en cada una de sus coordenadas, obtenemos $$-[p,\partial_1]=\sum p_j'(z)\partial_1^j=0$$

y como sabemos que el $z_1^i\partial_1^j$ son una base, $p_j'(z)=0$ para cada $j$ . Desde $\Bbb C$ tiene la característica cero, $p_j\in\Bbb C$ para cada $j$ . Por lo tanto, $p=\sum a_j \partial_1^j$ . Pero ahora $[p,z_1]=\sum a_j j\partial_1^{j-1}=0$ , por lo que cada $a_i,i\neq 0$ debe ser $0$ (de nuevo, por el carácter cero), por lo que $p$ es efectivamente un escalar.

Ahora $W_2$ se obtiene mirando $W_1$ como subálgebra de los endomorfismos de $\Bbb C[z_1,z_2]$ y una unión $z_2,\partial_2$ . ¿Puedes imitar lo anterior para generalizar?

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$1$ . Prueba Considere un elemento $\sum p_j(z_1)\partial_1^j$ . Evaluando este endomorfismo en $1$ obtenemos que $p_0(z_1)=0$ ya que las derivadas matan la constante. Por lo tanto, $p_0=0$ . Ahora evaluamos en $z_1$ , y obtenemos $p_1(z_1)=0$ Desde que el $\partial_1^j,j>1$ matar $z_1$ . Y así sucesivamente. Esto da una independencia lineal. Las relaciones de conmutatividad dan generan el álgebra.

Añadir Utilizando las relaciones dadas, se puede demostrar que cada $W_n$ es una simple central.