Factor de simetría del diagrama para la fórmula del campo escalar

Question

En 2010, Dong, Hue, y todos. encontrar la fórmula

$$S_{Diagram} = g 2^\beta 2^d \prod_n (n!)^{\alpha_n}$$

donde tenemos una interpretación sobre cada uno de estos números. En esta ecuación el factor de simetría $S$ es una función $S = S(g,\beta,d,\alpha_n)$ donde

1. $\beta$ es el número de líneas que conectan un vértice consigo mismo
2. $d$ es el número de burbujas dobles en el diagrama
3. $\alpha_n$ es el número de pares de vértices con $n$ las mismas contracciones

Mi pregunta es, ¿cómo puedo entender $g$ en esta fórmula.

El texto utiliza muchos ejemplos, pero para mí no está claro en los ejemplos y en el texto lo que los autores están considerando en este $g$ .

Answer 1

Tal vez la notación utilizada sea un poco engañosa, pero como se indica en el artículo de la página 4,

" $\dots g$ es el número de permutaciones de vértices que dejan el diagrama sin cambios con líneas externas fijas".

Esto quiere decir que $g$ es el número de permutaciones viables que se pueden hacer y que dan como resultado un diagrama topológicamente indistinto. En particular, los vértices conectados directamente a líneas externas son no sujeto a intercambio porque esas líneas se originan en puntos de origen etiquetados y distinguibles, que definen las distintas entradas en su $n$ -correlacionadores de puntos, cada uno en alguna coordenada $x_i$ .

El caso trivial de $g=1$ corresponde a la permutación de identidad, es decir, no hay ninguna permutación no trivial que se pueda realizar en el diagrama que dé como resultado un diagrama topológicamente indistinto. Todo esto se ejemplifica en las páginas 8 y 9 del texto, donde se dan diagramas correspondientes al correlador de cero y dos puntos con $g=1$ y $g=2$ .