Hoy he visto esta pregunta:
Si $x,y,z \in [0,\frac\pi 2]$ , $x+y+z=\frac{3\pi}{4}$ y $\sec^2(x)\sec^2(y)\sec^2(z)=8$ , calcule $E=\tan x\tan y+\tan y\tan z+\tan z\tan x$
Mi primer pensamiento fue conseguir todo en término de $\tan$ y todo fue como se esperaba. Dejemos que $a=\tan x, b=\tan y, c= \tan z$ . Entonces, después de jugar con las ecuaciones obtuve:
$$x+y+z=\frac{3\pi}{4}$$ $$\implies 1+a+b+c=ab+bc+ac+abc \tag1$$ Y como $\tan^2x+1=\sec^2x$ por AM-GM tenemos $$8=(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\ge 8abc$$ $$\implies 1 \ge abc$$ Así que ahora quiero mostrar que $$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)=8 \implies a+b+c\ge ab+bc+ac$$ para demostrar que $LHS\ge RHS$ para que sólo alcancen la igualdad cuando $a=b=c=1$ . Wolfram confirma que es posible hacerlo pero no he conseguido probarlo.
Edición: Una solución al problema
Desde $(1)$ Lo sabemos: $$a=\frac{(b+c)+(1-bc)}{(b+c)-(1-bc)}$$ Sustituyendo $u=b+c$ , $v=1-bc$ tenemos que $u^2+v^2=(1+b^2)(1+c^2)$ (Un caso especial de la identidad Brahmagupta-Fibonacci). Por lo tanto, $$1+a^2=2\frac{u^2+v^2}{(u-v)^2}=2\frac{(1+b^2)(1+c^2)}{(u-v)^2}=\frac{8}{(1+b^2)(1+c^2)}$$ Desde $x\le \frac{\pi}{2}$ tenemos que $y+z\ge \frac{\pi}{4}\implies \tan(y+z)=\frac{u}{v}\ge1$ . Por lo tanto, $u-v\ge 0$ y podemos tomar con seguridad la raíz cuadrada sin perder soluciones.
$$\implies (1+b^2)(1+c^2)=2(u-v)$$ $$\implies (1+b^2)(1+c^2)=2(b+c+bc-1)$$ $$\implies 1+b^2+c^2+b^2c^2=2b+2c+2bc-2$$ $$\implies (b-1)^2+(c-1)^2+(bc-1)^2=0$$ $\implies a=b=c=1, \implies E=3$
Pero esa última desigualdad que señalé me sigue intrigando. ¿Podemos demostrarla con métodos elementales? Además, ¿hay una solución sencilla para el problema?
